parabola

LA PARABOLA
DEFINICION:
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del
plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
La definición excluye el caso en que el foco está sobre ladirectriz.
Designemos por y (Fig.5), el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta
que pasa por y es perpendicular a se llama eje de la parábola. Sea el punto de intersección del
eje y la directriz. El punto , punto medio del segmento
, está, por definición, sobre la parábola;
este punto se llama vértice. El segmento de la recta, tal como
, que une dos puntos cualesquieradiferentes de la parábola se llama cuerda; en particular una cuerda que pasa por el foco como
,se
llama cuerda focal.
La cuerda focal
perpendicular al eje se llama lado recto. Si es un punto cualquiera de la
parábola, la recta
que une el foco con el punto se llama radio focal de , o radio vector.

Fig.5

ECUACION DE LA PARABOLA DE VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE UN COORDENADO.
Veremos que laecuación de una parábola toma su forma más simple cuando su vértice está en el
origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados.

Fig.6
De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen (Fig.6) y cuyo eje
coincide con el eje ; sean
sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la
directriz es
. Sea
un punto cualquiera de la parábola. Portracemos el segmento
perpendicular a .
Entonces, por la definición de parábola, el punto debe satisfacer la condición geométrica
|̅̅̅̅| |̅̅̅̅|
(1)
Tenemos
|̅̅̅̅| √
;
Por otro lado tenemos
|̅̅̅̅| |
|
La condición geométrica (1) está expresada, analíticamente, por la ecuación
|
|
√
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y simplificamos, obtenemos
(2)
Recíprocamente, seaun punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan (2). Tendremos:
Si sumamos
para la raíz positiva,

a ambos miembros de la ecuación, y extraemos la raíz cuadrada, obtenemos,

|
|,
√
Que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto . Por tanto, está
sobre la parábola cuya ecuación está dada por (2).
Ahora discutiremos la ecuación (2). Evidentemente, lacurva pasa por el origen y no tiene ninguna
otra intersección con los ejes coordenados. La única simetría que posee el lugar geométrico de (2)
es con respecto al eje . Despejando de la ecuación (2), tenemos:

(3)
√
Por tanto, para valores de reales y diferentes de cero, y deben ser del mismo signo.segun esto,
podemos considerar dos casos:
y
.
 Si
, deben excluirse todos los valoresnegativos de , y todo el lugar geométrico se
encuentra a la derecha del eje . Como no se excluye ningún valor positivo de , y como
puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico de (2) es una curva abierta que se
extiende indefinidamente hacia la derecha del eje y hacia arriba y abajo del eje . Esta
posición es la indicada en la figura .6, y se dice que la parábola se abre hacia laderecha.
 Análogamente, si
, todos los valores positivos de deben excluirse en la ecuacion (3)
y todo lugar geométrico aparece a la izquierda del eje . Esta posición está indicada en la
figura .7, y, en este caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no tiene asíntotas verticales ni
horizontales.

Fig.7
Según laecuación (3), hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a ; uno de ellos
tiene la ordenada
y el otro la ordenada
. Como la abscisa del foco es , se sigue que la
longitud del lado recto es igual al valor absoluto de la cantidad .
Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje , se demuestra,
análogamente, que la ecuación de la parábola es
(4)
En donde...