parabola

UNIDAD 13
LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la circunferencia y a la
parábola en las soluciones de ejercicios y problemas.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la formageneral.

Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB , donde
A(-2, 4) y B(6, -2)

C(h, k) = punto medio de AB :
h
k

x1  x 2
26
4
=
=
= 2
2
2
2
y1  y 2
4   2 
2
=
=
= 1
2
2
2

C(2, 1)

Radio = distancia de C a A
r = d CA 

 2  22  4  12

 16  9 =

25 = 5

r=5

Ecuación de lacircunferencia:

x  2 2   y  12  25
x 2  4 x  4  y 2  2 y  1  25  0
x 2  y 2  4 x  2 y  20  0

2.) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y
cuyo centro está situado en la recta x  3 y  11  0

Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k):
d CA  d CB

h  22  k  32

h  12  k  12

h  2 2  k  32  h  12  k  12
h 2  4h  4  k 2  6k  9  h 2  2h  1  k 2  2k  1
 6h  4k  11  0
6h  4k  11  0

----------------------------- (1)

C(h, k) es un punto de la recta x  3 y  11  0 , por lo tanto satisface su ecuación:
h  3k  11  0

Se resuelven las ecuaciones (1) y (2) simultáneas
6h  4k  11  0
h  3k  11  0
h  3k 11

63k  11  4k  11  0
22k  55

--------------------------------(2)

k

5
2

7
 5
h  3    11 
2
 2

7 5
C  , 
2 2

2

r  d CB

2

7   5 
   1     1 =
2   2 
r 

81 49

4
4

1
130
2

La ecuación de la circunferencia es
2

2

7 
5
130

x   y   
2 
2
4


o, en la forma general,
x2 7x 

49
25 130
 y2  5y 

0
4
4
4

x 2  y 2  7 x  5 y  14  0

3.) Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las
rectas:
R1 : 2 x  3 y  21  0
R2 : 3 x  2 y  6  0
R3 : 2 x  3 y  9  0

El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su
centro, el punto C(h, k), es el punto donde seintersectan las bisectrices de los
ángulos interiores del triángulo.

a) Ecuación de la bisectriz (1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2:
2 x  3 y  21
2

 2   3
2



3x  2 y  6
2

 3 2   2 

2 x  3 y  21 3 x  2 y  6

 13
 13

 2 x  3 y  21  3 x  2 y  6
 5 x  5 y  15  0
x y30

b) Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman lasrectas R1 y R3:

2 x  3 y  21 2 x  3 y  9

 13
 13

2 x  3 y  21  2 x  3 y  9
 6 y  12  0

Con estas dos bisectrices se encuentra el punto donde se intersectan las tres, que es
el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k):
De la bisectriz (2):

6 y  12  0 ; y 

12
2 = k
6

En la bisectriz (1): x  y  3  0 ; x  2  3  1 = h

El radio es ladistancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3:
r

2 1  32   9
2

2 3

2

=

13
 13
13

La ecuación de la circunferencia es:

x  12   y  2 2  13
x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  13  0
x 2  y 2  2x  4 y  8  0

Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una circunferenciay la necesidad de
conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta
curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.

Ejercicios resueltos:
Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una
circunferencia real, un punto o ningún lugar geométrico real.
1.) x 2  y 2  8 x  6 y  29  0
x 2  8 x  16  y 2  6 y  9 ...