parcial mayo
Páginas: 5 (1150 palabras)
Publicado: 15 de abril de 2014
Nombre y apellidos:
Grupo:
Examen de Álgebra (primer parcial)
6 de mayo de 2013
Duración: 1 hora y 30 minutos
Cuestión 1 (4 pt.) A una matriz A le hemos efectuado, en el orden que se indica, las siguientes
operaciones elementales por filas:
(1) hemos permutado las dos primeras filas,
(2) a la segunda fila le hemos restado 3 veces la primera, y
(3) hemos dividido entre 7 la tercera fila,
1
0 1
1
obteniendo como resultado la siguiente matriz: B = 0 a − 1 3 0 .
0 a−1 a 0
(a) Calcula (en función de los valores del parámetro a) la forma escalonada reducida de A.
(b) Calcula el rango de A en función de los valores del parámetro a.
(c) Si consideramos A como la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con
3 incógnitas,determina el número de soluciones del sistema según los valores de a y
resuelve el sistema cuando sea compatible. Para ello, utiliza los resultados obtenidos
en el apartado (a).
(d) Determina la matriz T tal que T A = B.
Solución:
(a) Como la matriz B es equivalente (por filas ) a A, la forma escalonada reducida de A coincide con
la de B. Escalonando la matriz B se tiene
1
0 11
0
1
1
1
0 a − 1 3 0 E3,2 (−1) 0 a − 1
−− −
3
0
B=
− −→
0 a−1 a 0
0
0
a−3 0
(∗)
– Asumiendo que a 1 y a 3, los pivotes de la segunda y tercera filas son a − 1 y a − 3,
respectivamente. Dividiendo las filas correspondientes entre ellos obtendremos una forma
escalonada principal de B:
1 1
−−−−−
(∗) − −− − − → 0 1
0 0
0
3
a−1
1
1
1
E2 ( a−1 )E3 ( a−3 )
1
0
0
A partir de aquí es sencillo obtener la forma escalonada reducida:
−3
1 1 0 1 E1,2 (−1) 1 0 0 1
E2,3 ( a−1 )
−− −→ 0 1 0 0 − − − 0 1 0 0
−−−
− −→
0 0 1 0
0 0 1 0
Faltan estudiar los casos a = 1 y a= 3.
– Si a = 1, sustituyendo
Jordan, se obtiene:
1
(∗) = 0
0
en la expresión (∗) y aplicando, como antes, el algoritmo de Gauss1
0
0
0 1
E3,2 (2/3) 1
3 0 −− −→ 0
−−−
−2 0
0
1
0
0
0
3
0
1
E2 (1/3) 1
0 − − − 0
− −→
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
– Si a = 3 procedemos análogamente:
1
(∗) = 0
0
1
2
0
0
3
0
1
E2 (1/2) 1 1 0
− −→
0 −− − 0 1 3/2
0
0 0 0
1
E1,2 (−1) 1
− −→
0 − − − 0
0
0
0
1
0
−3/2 1
3/2 0
0
0
(b) Observando las formas escalonadas reducidas obtenidas en el apartadoanterior resulta claro que
rang(A) = 3 si a {1, 3} y rang(A) = 2 en los otros casos.
(c) A partir de la forma escalonada reducida obtenida en el apartado (a) se deduce lo siguiente:
– Si a
{1, 3} entonces el sistema tiene una única solución, que es (1, 0, 0).
– Si a = 1 entonces el rango de la matriz de coeficientes (que es 2) coincide con el rango de
la matriz ampliada. Como el número deincógnitas es 3, aplicando el Teorema de RouchéFröbenius se tiene que el conjunto de soluciones es infinito. Es el siguiente:
{(1, 0, 0) + α(−1, 1, 0) | α ∈ R}.
– Si a = 3, razonando igual que antes se deduce que el conjunto de soluciones es también
infinito. Es el siguiente:
{(1, 0, 0) + α(3/2, −3/2, 1) | α ∈ R}.
(d) Interpretando las operaciones elementales por filas realizadas a la matriz A entérminos de productos por matrices elementales, se tiene la siguiente igualdad:
E3 (1/7)E2,1 (−3)E1,2 A = B.
Por tanto:
T = E3 (1/7)E2,1 (−3)E1,2
1
= 0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
−3 1 0 1
0
1/7 0 0 1 0
1
0
0
0 0
0 = 0
1
0
1
0
−3 0 .
...
Grupo:
Examen de Álgebra (primer parcial)
6 de mayo de 2013
Duración: 1 hora y 30 minutos
Cuestión 1 (4 pt.) A una matriz A le hemos efectuado, en el orden que se indica, las siguientes
operaciones elementales por filas:
(1) hemos permutado las dos primeras filas,
(2) a la segunda fila le hemos restado 3 veces la primera, y
(3) hemos dividido entre 7 la tercera fila,
1
0 1
1
obteniendo como resultado la siguiente matriz: B = 0 a − 1 3 0 .
0 a−1 a 0
(a) Calcula (en función de los valores del parámetro a) la forma escalonada reducida de A.
(b) Calcula el rango de A en función de los valores del parámetro a.
(c) Si consideramos A como la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con
3 incógnitas,determina el número de soluciones del sistema según los valores de a y
resuelve el sistema cuando sea compatible. Para ello, utiliza los resultados obtenidos
en el apartado (a).
(d) Determina la matriz T tal que T A = B.
Solución:
(a) Como la matriz B es equivalente (por filas ) a A, la forma escalonada reducida de A coincide con
la de B. Escalonando la matriz B se tiene
1
0 11
0
1
1
1
0 a − 1 3 0 E3,2 (−1) 0 a − 1
−− −
3
0
B=
− −→
0 a−1 a 0
0
0
a−3 0
(∗)
– Asumiendo que a 1 y a 3, los pivotes de la segunda y tercera filas son a − 1 y a − 3,
respectivamente. Dividiendo las filas correspondientes entre ellos obtendremos una forma
escalonada principal de B:
1 1
−−−−−
(∗) − −− − − → 0 1
0 0
0
3
a−1
1
1
1
E2 ( a−1 )E3 ( a−3 )
1
0
0
A partir de aquí es sencillo obtener la forma escalonada reducida:
−3
1 1 0 1 E1,2 (−1) 1 0 0 1
E2,3 ( a−1 )
−− −→ 0 1 0 0 − − − 0 1 0 0
−−−
− −→
0 0 1 0
0 0 1 0
Faltan estudiar los casos a = 1 y a= 3.
– Si a = 1, sustituyendo
Jordan, se obtiene:
1
(∗) = 0
0
en la expresión (∗) y aplicando, como antes, el algoritmo de Gauss1
0
0
0 1
E3,2 (2/3) 1
3 0 −− −→ 0
−−−
−2 0
0
1
0
0
0
3
0
1
E2 (1/3) 1
0 − − − 0
− −→
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
– Si a = 3 procedemos análogamente:
1
(∗) = 0
0
1
2
0
0
3
0
1
E2 (1/2) 1 1 0
− −→
0 −− − 0 1 3/2
0
0 0 0
1
E1,2 (−1) 1
− −→
0 − − − 0
0
0
0
1
0
−3/2 1
3/2 0
0
0
(b) Observando las formas escalonadas reducidas obtenidas en el apartadoanterior resulta claro que
rang(A) = 3 si a {1, 3} y rang(A) = 2 en los otros casos.
(c) A partir de la forma escalonada reducida obtenida en el apartado (a) se deduce lo siguiente:
– Si a
{1, 3} entonces el sistema tiene una única solución, que es (1, 0, 0).
– Si a = 1 entonces el rango de la matriz de coeficientes (que es 2) coincide con el rango de
la matriz ampliada. Como el número deincógnitas es 3, aplicando el Teorema de RouchéFröbenius se tiene que el conjunto de soluciones es infinito. Es el siguiente:
{(1, 0, 0) + α(−1, 1, 0) | α ∈ R}.
– Si a = 3, razonando igual que antes se deduce que el conjunto de soluciones es también
infinito. Es el siguiente:
{(1, 0, 0) + α(3/2, −3/2, 1) | α ∈ R}.
(d) Interpretando las operaciones elementales por filas realizadas a la matriz A entérminos de productos por matrices elementales, se tiene la siguiente igualdad:
E3 (1/7)E2,1 (−3)E1,2 A = B.
Por tanto:
T = E3 (1/7)E2,1 (−3)E1,2
1
= 0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
−3 1 0 1
0
1/7 0 0 1 0
1
0
0
0 0
0 = 0
1
0
1
0
−3 0 .
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