PDF Res Campos Vectoriales

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Matemáticas 4 – Campos Vectoriales

Funciones Vectoriales en el espacio

 13.1 Curvas en el espacio y sus tangentes
• r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) (función vectorial) es el vector posición de la partícula
•

Vector velocidad v ( t ) : Vector tangente a la curva r ( t )

v (=
t)

dr  dx dy dz 
=  , , =

dt  dt dt dt 

r (t ) → v (t )

v (t )
v (t )


v (t ) ⋅


dr( t )
Rapidez
dt

d( )
dt

Dirección T =

* v ( t ) ≠ 0 para curvas suaves en el espacio

d( )
ds

r (s) → T

dr ( s )
ds

* v ( t ) siempre va en el mismo sentido de r ( t )
•

•

Reglas de Derivación en funciones vectoriales
d

(t ) p (t )) r '(t ) p (t ) + r (t ) p '(t )
(r=
dt
d

( t ) p ( t ) ) r ' ( t ) p ( t ) + r ( t ) p ' ( t )
(r=
dt
d

( r (t ) × p (t )) = r '(t ) × p (t ) + r (t) × p '(t )
dt
Función Vectorial de magnitud constante
r (t ) =
cte. ⇒ r ( t )v ( t ) =
0
Demo
r ( t ) = cte

⇒ r ( t )r ( t ) =
r (t ) =
cte 2
2

⇒

Propiedad del producto punto

d
0
( r ( t )r ( t ) ) =
dt

Derivando respecto a t

⇒ v ( t )r ( t ) + r ( t )v ( t ) =
0

0
⇒ 2v ( t )r ( t ) =

∴ v ( t )r ( t ) =
0

“En funciones vectoriales cuya magnitud es constante, el vector velocidad essiempre perpendicular
al vector de posición”
 13.3 Longitud de arco en el espacio
• Parámetro de Longitud de Arco con punto base

s ( t ) = ∫ v (τ ) dτ
t

t0

con t0 en el punto base P0 = r ( t0 )

=
r r=
*Si se despeja t = t ( s ) entonces se reparametriza la curva como
(t ( s )) r ( s )

•

“Esta nueva curva identifica un punto en la curva con su distancia dirigida a lo largo de la curva
desdeel punto base”
Vector Tangente unitario T

=
T

v ( t ) dr ( s )
=
v (t )
ds
Demo

dr dr dt
1
Pero s
= = v (t ) =
ds dt ds
ds / dt

∫ v (τ ) dτ
t

t0

/

d
ds
v (t )
=
( ) ⇒
dt
dt

dr
ds

v (t )

Entonces= = T
v (t )

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Matemáticas 4 – Campos Vectoriales
 13.4 Curvatura y Vector Normal
• Curvatura κ

dT
1 dT
=
ds
v dt

=
κ

•

“Razón a la que T gira por unidad de longitud”
“Longitud dela velocidad de cambio de T ”
Vector Normal N

1 dT
=
κ ds

=
N

dT
dt
dT
dt

“Vector unitario ortogonal al vector T ”
“Vector unitario que apunta en “dirección” en la que gira la curva”
“Velocidad de cambio del vector T ”

Demo: Como T = 1= cte. ⇒ T 

dT
dT
=
0 ∴T ⊥
dt
dt

Integración en Campos Vectoriales

 16.1 Integrales de Línea en un campo escalar
• Para integrar una función escalarcontínua f ( x, y, z ) sobre una curva C se debe


Determinar una parametrización suave (su vector

=
C : r (t )



( g (t ) , h (t ) , k (t ))

t ∈ [ a, b ]

Se obtiene la integral de línea como:

∫

C

f ( x, y, z )ds = ∫

b

a

v ( t ) nunca se anula) de la curva como

f ( g ( t ) , h ( t ) , k ( t ) ) v ( t ) dt

 

f ( r ( t )): f evaluada en la curva C:r ( t )

ds

“Longitud de lafunción escalar evaluada a lo largo del arco”
* El valor de una integral de línea en una trayectoria entre dos puntos, no es el mismo al cambiar la
trayectoria (la curva escogida) que se recorre entre estos mismos puntos.
* Si f ( x, y, z ) = 1 , la integral de línea se transforma en la longitud de la curva C
•

Masa y momento
Se trabaja con integrales de línea, en donde f ( x, y, z ) pasa a ser lafunción densidad δ

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Matemáticas 4 – Campos Vectoriales
 16.2 Campos Vectoriales e Integrales de Línea
•

Campo Vectorial: Tienen la forma
F ( x, y , z ) = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) )
“Función que asigna un vector específico a cada punto del espacio (de su dominio)”
F ( x, y ) = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) )
“Función que asigna un vector específico a cada puntodel plano (de su dominio)”
Ejemplos notables:
 Los vectores T y N de una curva en el espacio son un campo vectorial sobre la curva.

•

Integrales de línea de un campo Vectorial
Para un campo vectorial F ( x, y, z ) = ( M ( x, y, z ) , N ( x, y, z ) , P ( x, y, z ) )
1. Determinar/expresar una parametrización suave (su vector

curva que recorrerá F como:
=
C : r (t ) ( g (t ) , h (t ) , k (t...