Pendulo Simple

Introducción.

Físicamente se han estudiado muchos movimientos observados en la naturaleza, algunos de ellos se repiten, oscilando en el tiempo, y han sido idealizados para su análisis, ya que se consideran ciertas condiciones para que una fórmula modelo pueda representar ese movimiento matemáticamente. Es éste el caso del péndulo simple, en el cual se han hecho algunas consideraciones, sinembargo podemos calcular alguna de esas variables, como la fricción con el aire, es decir, disipación de energía que provoca un movimiento variable en el tiempo.

Objetivo.

Determinar el coeficiente de fricción producido por el roce de una masa en contra del aire, en el movimiento de un péndulo simple, mediante la linealización de una fórmula que nos describe el movimiento del sistema, entérminos de la función exponencial.

Teoría.

Péndulo simple. Es un sistema que consta de un cuerpo de masa m, sujetado de un hilo inextensible de masa despreciable comparada con la del cuerpo, que describe un movimiento oscilatorio en el tiempo, un dispositivo como e mostrado en la figura 1.

Figura 1. Péndulo simple.


Si consideramos las fuerzas producidas por la fricción, un factor externoal sistema, debemos considerar un coeficiente de fricción, dado según el material del cuerpo en movimiento y las características del medio en el que se desenvuelve.
El modelo o fórmula que nos permite estudiar el péndulo simple bajo la acción de la fricción en el aire es la siguiente:

A = A0 e-bt/2m…………… (1)

En donde:

A es la amplitud que varia conforme el tiempo, en grados(°).A0 es la amplitud inicial, en grados (°).
m es la masa del cuerpo
t el tiempo en segundos (s).
b la constante de fricción del cuerpo contra el aire.

Hipótesis.

Linealizando éste modelo, podemos calcular la pendiente de la recta, la cual nos arrojará el dato del coeficiente de fricción, fijando la amplitud inicial A0, considerando que la amplitud A, es una variable dependiente deltiempo, y con m una constante.

La linealización es como sigue:

Aplicamos logaritmo natural a la ecuación (1) y obtenemos que

ln (A) = ln (A0 e-bt/2m)

ln (A) = ln (A0) + ln (e-bt/2m)

ln (A) = ln(A0) – bt/2m

Finalmente

ln (A) = ln (A0) + t………………….(2)

Comparando con y = b + px

La pendiente es p = …………………(3)
Desarrollo experimental.

Materiales.

Unsoporte universal.
Un sistema graduado y anclado al soporte, que nos permita medir la amplitud.
Una pelota de esponja, que fungirá como el cuerpo oscilante.
Una balanza granataria.
Hilo de masa despreciable.
Un cronómetro.

Método.

Una vez armado el dispositivo de la figura 1, y aunado a él el sistema graduado para medir la amplitud, fijamos a A0 = 120° al tiempo t0 = 0.

Nota:

Ahora enésta etapa enfrentamos un problema de medición, la variable dependiente es la amplitud A, y la variable independiente es el tiempo t, sin embargo por la naturaleza del experimento y sólo en tal, consideramos que la variable dependiente es el tiempo y la independiente es la amplitud, ya que para efectos de medición, por los instrumentos usados (una hoja graduada manualmente en grados, en comparacióncon un cronómetro) es mucho más fácil determinar el tiempo a una amplitud observada que viceversa.

Insistimos en que ésta pequeña excepción será sólo para efectos de medidas durante la realización de la experiencia, y que en los análisis registrados en adelante se usará la amplitud como la variable dependiente y el tiempo como la independiente.

Registramos entonces los tiempos para cada 10°según disminuya la amplitud a partir de A0, con sus respectivas incertidumbres, necesitaremos también los logaritmos de A.

La masa de la pelota es m = (81.150±0.005) x10-3 kg

Tabla 1. Datos obtenidos de amplitud y tiempo.

A (°) ∆ A ± (°) t (s) ∆ t ± (s) ln A
110 0.5 5.71 0.20 4.7005
100 0.5 9.58 0.20 4.6052
90 0.5 15.37 0.20 4.4998
80 0.5 19.08 0.20 4.3820
70 0.5 24.30 0.20...