permutaciones y combinaciones

Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí importa.  Para encontrar el número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:

Cuando no se permite repetición


Cuando se permita repetición
Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinacionesde n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN 
Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces , el tercero c veces, ...
n = a + b + c +...
Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que;
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.Ejemplo
Calcular las permutaciones con repetición de: .



PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN.
  Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.
 
Para construir las permutaciones sinrepetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos. 
 
          De un elemento. A = {1}. Únicamente existe una permutación: 1.
 
          De dos elementos. A = {1,2}. V2,2 = 2. Las dos permutacionesson: 12 y 21.
 
          De tres elementos. A = {1,2,3}. V3,3 = 6. Las seis permutaciones son: 123 , 132 , 213 , 231 , 312 y 321.
 
De cuatro elementos. A = {1,2,3,4}. V4,4 = 24. Las veinticuatro permutaciones son: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.
 
Y asípodemos seguir construyendo permutaciones de cualquier número de elementos. En la siguiente escena se puede seguir la construcción de permutaciones sin repetición de cuatro elementos utilizando el diagrama de árbol.
EJEMPLOS:


A) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución:

B) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifrasse pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? Solución:
.
C) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.

PERMUTACIONES CIRCULARES
Es un caso particular de las permutaciones.
Se utilizan cuando los elementos se hande ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplo
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
TRIÁNGULO DE PASCAL
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
1
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
1
 
2
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
3
 
3
 
1
 
 
 
 
 
 
 
1
 
4
 
6
 
4
 
1
 
 
 
 
 
1
 
5
 
10
 
10
 
5
 
1
 
 
 
1
 
6
 
15
 
20
 
15
 
6
 
1
 
1
 
7
 
21
 
35
 
35
 
21
 
7
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir eltriángulo aritmético o de Pascal.
Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "n" contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientras que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado. 
El primer applet que se encuentra en esta página...