Poisson Bgo

Ap´
endice A

Resoluci´
on de las ecuaciones de
Poisson y Laplace
A.1.

Introducci´
on

Este cap´ıtulo trata de la soluci´
on de las ecuaciones de Poisson y Laplace con diversas t´ecnicas. Sus contenidos pueden abordarse desde cualquier punto de este texto, en
particular, parte del mismo puede estudiarse una vez introducidas dichas ecuaciones en
los primeros cap´ıtulos.

A.2.

Soluci´
onanal´ıtica de la ecuaci´
on de Poisson

A.2.1.

Ejemplos del uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace

Ya vimos que los campos F que son irrotacionales en una cierta regi´
on del espacio,
cumplen en ella una ecuaci´
on de tipo Poisson.
Si en V

∇ · F (r) = D(r) 
⇒ F (r) = −∇ f (r)

∇∧F (r) = 0
y
∇2 f (r) = −D(r)
(A.1)
La ecuaci´
on homog´enea, ecuaci´
on de Laplace
∇2 f (r) = 0

(A.2)

que ser´
a v´alida en regiones donde F sea solenoidal.
El problema que se plantea es la b´
usqueda de la soluci´
on de estas ecuaciones en
un cierto volumen y bajo unas ciertas condiciones de contorno. Se ha visto que las
condiciones de Dirichlet, o las mixtas, en las cuales se fija el valor de f en al menos
parte de la superficie del contorno, aseguran la unicidad del potencial, mientras que las
condiciones deNeumann, en las que se fija solamente la componente normal del campo
Fn , implican la unicidad de este u
´ltimo.
a-1

a-2
La resoluci´
on de la ecuaci´
on de Poisson puede llevarse a cabo sumando a la soluci´
on
general de la ecuaci´
on de Laplace una soluci´
on particular de la de Poisson y ajustando
los coeficientes de esta suma para cumplimentar las condiciones de contorno.
Muchos problemasimportantes de campos electrost´
aticos, campos magnetost´
aticos
y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones.
Para medios no conductores de clase A, el campo electrost´
atico cumple las ecuaciones

1
∇ · E(r) = ρ(r) 

ε
⇒ E(r) = −∇ V (r)


∇∧E(r) = 0
y

y

1
∇2 V (r) = − ρ(r)
ε

(A.3)

En condiciones est´
aticas y ausencia de corrientes de conducci´
on, el campo H cumple

∇· H(r) = ρM (r) 
⇒ H(r) = −∇ U (r)

∇∧H(r) = 0
∇2 U (r) = −ρM (r)

(A.4)

Para corrientes estacionarias, supuesta la presencia de campos electromotores conocidos E ′
 = σ ET = σ (E + E ′ ) , ∇ ·  (r) = 0

∇ · E(r) = −∇ · E ′ (r) 
⇒ E(r) = −∇ V (r)

∇∧E(r) = 0

y

∇2 V (r) = ∇ · E ′ (r)

(A.5)

En este planteamiento del problema 1ε ρ(r), ρM (r) y ∇ · E ′ (r) se suponen conocidos
y fijos entodo el volumen V dentro del cual queremos hallar la soluci´
on.

A.2.2.

Principio de superposici´
on

En algunos casos es u
´til el uso del principio de superposici´
on que se deduce de la
linealidad de la ecuaci´
on de Poisson.
Si fi (r) es una soluci´
on de la ecuaci´
on
∇2 fi (r) = −Di (r)
que cumple una de las condiciones de contorno
[fi ]S = fiS

o´

∂ fi
∂n

S

= −FinS

a-3
entonces
Nf=

λi fi
i=1

es una soluci´
on de ∇2 f = −D, donde
N

D=

i=1

λi D i

con la condici´
on de contorno
N

N

fS =

λi fiS

λi FinS

o´ FnS =
i=1

i=1

lo que puede comprobarse por simple substituci´
on.
Esto permite, a veces, descomponer un problema complejo en otros m´
as sencillos,
como ilustraremos m´
as adelante.

A.2.3.

Expresi´
on integral de la ecuaci´
on de Poisson

Antes de exponer elm´etodo de Green de soluci´
on de la ecuaci´
on de Poisson veremos
como ´esta puede ser puesta en forma integral. Para ello haremos uso de las identidades
de Green.
Identidades de Green :
Si h y g son dos funciones definidas en V. Por el teorema de la divergencia
V

∇ · (h ∇ g) dv =

S

h ∇ g · n ds

Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma ∇ g ·
n ≡ ∂∂ ng
∂g
(h∇2 g + ∇ h · ∇ g) dv =
h
ds
(A.6)
∂n
V
S
que es la primera identidad de Green.
Cambiando g ↔ h y restando, obtenemos
V

(h ∇2 g − g ∇2 h) dv =

la cual es la segunda identidad de Green.

(h
S

∂h
∂g
−g
) ds
∂n
∂n

(A.7)

a-4

V=V’
Volumen
problema

Vf
Volumen
que contiene
a todas las
fuentes

n
S’

D (r ’)

D =0

Figura A.1:
Expresi´
on integral de la ecuaci´
on de Poisson :
Para obtener una...