poisson

Cap´
ıtulo 4

El proceso de Poisson
En el presente y en el siguiente cap´
ıtulo estudiaremos el modelo de cadena
de Markov a tiempo continuo. Como una introducci´n a la teor´ general que
o
ıa
se expondr´ m´s adelante, en este cap´
a a
ıtulo estudiaremos uno de los ejemplos
m´s importantes de este tipo de modelos: el proceso de Poisson. Definiremos
a
este proceso de varias formasequivalentes y estudiaremos algunas de sus
propiedades, sus generalizaciones y algunas de sus aplicaciones. El proceso
de Poisson es un modelo relevante tanto en las aplicaciones como en la teor´
ıa
general de los procesos estoc´sticos.
a

4.1.

Definici´n
o

Suponga que un mismo evento ocurre
repetidas veces de manera aleatoria a
¢ ¢ ¢ ¢
lo largo del tiempo, como se muestra
0
en laFigura 4.1. Tal evento puede ser,
Figura 4.1
por ejemplo, la llegada de una reclamaci´n a una compa˜´ aseguradora o
o
nıa
la recepci´n de una llamada a un conmutador, la llegada de un cliente
o
a una ventanilla para solicitar alg´n servicio o los momentos en que una
u
cierta maquinaria requiere reparaci´n, etc´tera. Suponga que las variables
o
e
aleatorias T1 , T2 . . . representan lostiempos que transcurren entre una ocurrencia del evento y la siguiente ocurrencia. Suponga que estos tiempos son
independientes uno del otro y que cada uno tiene distribuci´n expÔλÕ. Se
o
115

116

4. El proceso de Poisson

define el proceso de Poisson al tiempo t como el n´mero de ocurrencias del
u
evento que se han observado hasta ese instante t. Esta es una definici´n cono
structivade este proceso y la formalizaremos a continuaci´n. M´s adelante
o
a
enunciaremos otras definiciones axiom´ticas equivalentes.
a
Definici´n 4.1 (Primera definici´n) Sea T1 , T2 , . . . una sucesi´n de vao
o
o
riables aleatorias independientes cada una con distribuci´n expÔλÕ. El proo
ceso de Poisson de par´metro λ es el proceso a tiempo continuo ØXt : t 0Ù
a
definido de la siguiente manera:Xt

m´x Øn
a

1 : T1   ¤ ¤ ¤   Tn

tÙ.

Se postula adem´s que el proceso inicia en cero y para ello se define m´x À
a
a
0. En palabras, la variable Xt es el entero n m´ximo tal que T1  ¤ ¤ ¤  Tn es
a
menor o igual a t, y ello equivale a contar el n´mero de eventos ocurridos
u
hasta el tiempo t. A este proceso se le llama proceso de Poisson homog´neo,
e
tal adjetivo se refiere aque el par´metro λ no cambia con el tiempo, es
a
decir, es homog´neo en
e
Xt Ôω Õ
el tiempo. Una trayectoria
3
t´
ıpica de este proceso puede
observarse en la Figura 4.2,
2
la cual es no decreciente,
1
constante por partes, continua por la derecha y con
t
l´
ımite por la izquierda. A
W1 W2
W3
0
los tiempos T1 , T2 , . . . se les
T1
T2
T3
T4
llama tiempos de estancia
otiempos de interarribo,
Figura 4.2: El proceso de Poisson
y los tiempos de ocurrencia de eventos.
y corresponden a los tiempos que transcurren entre
un salto del proceso y el siguiente salto. Hemos supuesto que estos tiempos
son independientes y que todos tienen distribuci´n expÔλÕ. En consecuencia,
o
T1   ¤ ¤ ¤   Tn tiene distribuci´n gamaÔn, λÕ. Esta variao
la variable Wn
ble representa eltiempo real en el que se observa la ocurrencia del n-´simo
e
evento. Observe la igualdad de eventos ÔXt nÕ ÔWn tÕ, esto equivale
a decir que al tiempo t han ocurrido por lo menos n eventos si, y s´lo si, el
o
n-´simo evento ocurri´ antes de t. Una de las caracter´
e
o
ısticas sobresalientes

´
4.1. Definicion

117

de este proceso es que puede encontrarse expl´
ıcitamente ladistribuci´n de
o
probabilidad de la variable Xt para cualquier valor de t 0. La respuesta
es la distribuci´n Poisson, y de all´ el proceso adquiere su nombre.
o
ı
Proposici´n 4.1 La variable Xt tiene distribuci´n PoissonÔλtÕ, es decir,
o
o
para cualquier t 0, y para n 0, 1, . . .
P ÔXt

nÕ

e¡λt

ÔλtÕn .
n!

o
Demostraci´n. Como Wn tiene distribuci´n gamaÔn, λÕ, su funci´n de
o...