Portafolio Núm. Estelares

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey


División Preparatoria


Matemáticas BI


Nivel Medio


Portafolio


“Números Estelares”


Jorge Neri


A01331355


Prof. Evgenia Zanina
En este trabajo voy a investigar la relación numérica de ciertas figuras geométricas que llevan a números especiales, tratando de deducir una fórmula que lleveeventualmente a calcular el número de puntos que componen dicha figura. Primeramente con los números triangulares, que sirvieron para entender el concepto de número especial y su relación con las figuras geométricas. El trabajo con los números triangulares consistió en encontrar una proposición general que sirviera para encontrar cualquier término dentro de los números triangulares. Éstos números sonaquellos que pueden representarse en forma de triangulo equilátero, es decir que el numero triangular se estructure en el mismo número de puntos por ejemplo y de esta manera formar el triángulo. Los siguientes son ejemplos de números triangulares:













En todos estos casos la distribución es igual y es así que sumando los puntos obtenemos el número triangular. Procedo ahora aagregar dos ejemplos más:









Término Número de puntos (Triangular)
T1 1
T2 3
T3 6
T4 10
T5 15
T6 21
T7 28
T8 36
Ahora, ordenaré los datos obtenidos en una tabla para mostrar la relación existente entre ellos.









Procedí a graficar dicha tabla en el programa Microsoft Excel, seleccioné la opción “add trendline” para posteriormente poder obtener la ecuación dedicha curva:

La ecuación obtenida, una cuadrática, fue:

y = 0,5x2 + 0,5x

Al suponer que esta ecuación puede ser mi proposición general sustituiré x por n, donde n es el enésimo número triangular, reformulando:

Tn = 0,5n2 + 0,5n

Ahora, procederé a comprobar esta expresión general con varios ejemplos:

Término Sustitución Resultado
T3 T3= 0,5(3)2 + 0,5(3) T3= 6
T7 T7= 0,5(7)2 +0,5(7) T7= 28
T24 T24= 0,5(24)2 + 0,5(24) T24= 300
T600 T600= 0,5(600)2 + 0,5(600) T600= 180300
T1372 T1372= 0,5(1372)2 +0,5(1372) T1372= 941878


Es así como compruebo la expresión general para hallar el enésimo número Tn, en términos de n.

Ahora pasaré a trabajar con los números estelares. Compuestos de igual manera que los triangulares, son un determinado número de puntos que en estecaso forman una estrella de determinados picos, con determinadas capaz dependiendo del término. Siendo p en número de vértices de la estrella. A continuación, presento el número 6-estelar (estrella de 6 vértices) en sus etapas S1-S4:












Ahora procedí a agrupar los resultados en una tabla, buscando los números estelares hasta S6, para buscar relaciones entre éstos números.Término Número Estelar
S1 1
S2 13
S3 37
S4 73
S5 121
S6 181

De entrada, me llama la atención que los números estelares parecen ser todos un múltiplo de 12, sumándole 1. Además los números se pueden descomponer en múltiplos ascendentes de 12 (mientras asciende el término también) y sumándole 1. Puedo explicarlo de la siguiente manera:

S1= 0+1=1
S2= 0+1+12=13
S3= 0+1+12+24=37
S4=0+1+12+24+36=73
S5= 0+1+12+24+36+48=121
S6= 0+1+12+24+36+48+60=181

Entonces, si, por ejemplo, quisiera buscar el número 6-estelar en su etapa S7, sumaría el siguiente múltiplo de 12:

S7= 0+12+24+36+48+60+72=253
Ahora, como en el caso de los números triangulares, procederé a graficar la tabla anteriormente mostrada (Término contra número estelar), esperando me ayude a encontrar la expresióngeneral. De nuevo utilizo el programa Microsoft Excel y selecciono la opción “add trendline” para poder obtener la ecuación de la curva.


Me llama la atención la presencia del número 6 en la ecuación y creo tiene relación con el número de picos de la estrella en cuestión, siendo así, procedo a sustituir x por n en la ecuación.

6x2 – 6x + 1 → 6n2 – 6n + 1

Posteriormente procedo a...