Practica Final Algebra Lineal

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|Algebra Lineal | ||Módulo: 3. Transformaciones lineales |Practica Integradora. |
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|Bibliografía: |Ejercicios a resolver:
a) Pruebe que no existen cuadrados mágicos de tamaño 2 x 2. Considere la matriz  [pic]  como un cuadrado hipotético. Señale el sistema de ecuaciones lineales y el procedimiento de solución.
b) Centraremos nuestra atención en encontrar una forma de describir todos los cuadrados mágicos de tamaño 3 x  3. Las condiciones sobre los renglones, columnas y diagonales dan origen a unsistema de ecuaciones lineales homogéneas en las variables [pic].
Consideremos la matriz de tamaño 3 x 3 de la forma
[pic]                                                          
Muestre el sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el procedimiento y la solución. Señale todos los cuadrados mágicos de tamaño 3 x 3.
c) Con el procedimiento señalado en la animación genere un solo cuadrado mágicode tamaño 7 x 7. Muestre el procedimiento llevado a cabo y el cuadrado mágico de tamaño 7 x 7.
Procedimientos y Resultados:
a) Pruebe que no existen cuadrados mágicos de tamaño 2 x 2. Considere la matriz  [pic]  como un cuadrado hipotético. Señale el sistema de ecuaciones lineales y el procedimiento de solución.
Supongamos que existen cantidades a, b, c, d tales que:
|a |b |
|c |d |Luego, debe tenerse
a+b = a+c, De donde b=c. Pero también
b+d = c+d, De donde b=c. Es decir, a=b=c, quedando
|a |a |
|a |d |

Pero también debe tenerse
a+d = a+a, de donde d=a, es decir, la única posibilidad es que todas las cantidades sean iguales, lo que no es una solución válida.
b) Centraremos nuestra atención en encontrar una forma de describir todos los cuadradosmágicos de tamaño 3 x  3. Las condiciones sobre los renglones, columnas y diagonales dan origen a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas en las variables [pic].
Consideremos la matriz de tamaño 3 x 3 de la forma
[pic]
Muestre el sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el procedimiento y la solución. Señale todos los cuadrados mágicos de tamaño 3 x 3.
|a |b |C |
|d |e |F ||g |h |I |

Sea un cuadrado mágico 3x3 que contiene un número cualesquiera en sus casillas,

Sabemos que una de las propiedades de los cuadrados mágicos es que la suma de los números de cada fila, columna o diagonal es siempre el mismo número. Por tanto:
| |a + b + c = x | |c + f + i = x |
| |a + d + g = x| |c + e + g = x |
| |a + e + i = x | |d + e + f = x |
| |b + e + h = x | |g + h + i = x |

Elegimos las ecuaciones que contengan la variable “e” y pasamos dicha variable al otro miembro de la ecuación:
| |a + i =x – e | |c + g = x – e |
| |b + h = x – e | |d + f = x – e |

Si sumamos todas estas ecuaciones tenemos que:

a + i + b + h + c + g + d + f = 4x – 4e

Reordenamos los sumandos:

a + b + c + d + f + g + h + i = 4x – 4e

Agrupamos los sumandos de la siguiente manera:...