practicas calculo diferencial e integral

Índice general
Parte 1.

Límites y Continuidad

3

1. Análisis y construcción de grá…cas

4

2. Conceptos teóricos

6

3. Cálculo de límites

10

Derivadas

13

4. De…nición de derivada

14

5. Reglas de derivación y regla de la cadena

14

6. Derivadas de orden superior

16

7. Derivación implícita

16

8. Problemas

17

Parte 2.

Parte 3.Aplicaciones de las derivadas

19

9. Problemas de tasas relacionadas

20

10. Conceptos teóricos: Máximos y mínimos, trazo de curvas.

22

11. Gra…cación

24

12. La regla de L’
Hôpital

27

13. Problemas de optimización

28

Parte 4.

31

Integral inde…nida

14. Concepto de antiderivada

32

15. Cálculo de integrales

32

Parte 5.

Integrales de…nidas e impropias37

16. Sumas de Riemann: concepto intuitivo de partición

38

17. La integral de…nida

40
1

2

18. Áreas

43

19. Integrales impropias

45

Parte 6.

Anexo: Sumas de Riemann

47

20. Introducción histórica

48

21. La notación sigma

49

22. El origen de la integral: la primera mitad del siglo XVII

53

23. Integral de…nida

54

Parte 7.Soluciones

63

Parte 1
Límites y Continuidad

1.

Análisis y construcción de grá…cas

1. Para cada una de las siguientes grá…cas, responda lo que se le solicita.
(a)

y

f

3

l m f (x)

l m f (x)

x! 1

x!2+

x!+1

x!2

l m f (x)

2

l m f (x)

2

-2

x!3

3

x

l m f (x)
l m f (x)

x! 2

l m f (x)

x! 2+

-2

(b)

y

l m f (x)

l m f(x)

1
1

-1

x! 1

2
4

-2

x!0

l m f (x)

f
-2

x! 2

x!+1

3

-3

l m f (x)

x! 1

x

l m f (x)

x! 1+

l m f (x)

l m f (x)

x!0+

l m f (x)

x!2

Folleto de Prácticas

Agüero, E. - Chavarría, J. - Fallas, J.J. 5

(c)

y

l m f (x)

f

l m f (x)

x! 1

x!2

2

x!+1

x!2+

1

x! 2+

l m f (x)

l m f (x)

l m f (x)2

-2

l m f (x)

x

f (2)
f (0)

x!0

2. Para cada uno de los siguientes casos, construya la grá…ca de una función f que cumpla
simultáneamente las condiciones dadas
(a)
Df = I
R

f 2; 3g

l m f (x) =

x! 2

1

l m f (x) = 3

l m f (x) = 3

x! 1

x! 2+

l m f (x) = +1

l m f (x) =

x!+1

x!3

l m f (x) = 3

3

f (0) = 0

x!3+

(b)
Df = I
R]0; 1]

l m f (x) = +1

l m f (x) = +1

l m f (x) =

x! 3+

x!0

l m f (x) =

x! 1

x!1+

x!+1

2

f ( 1) = f (3) = 0

x! 3

l m f (x) = 2

1

l m f (x) = +1

f (0) < 0

(c)
Df = [ 3; +1[
l m f (x) = 1

l m f (x) =

x!+1

1

l m f (x) no existe

x! 1

l m f (x) = 1

x! 3+

f (x) 6= 0; 8x 2 ]0; +1[

f ( 3) = f (3) =

l m f (x) existex!x0

x!3

f (x) = 2; 8x 2 [ 1; 1]

1

8x0 2 [0; +1[

6 Límites y Continuidad

Agüero, E. - Chavarría, J. - Fallas, J.J.

(d)
Df = I
R

f

f (x) > 0; 8x 2 ]1; 3[

derecha de 3

l m f (x) = 0

f es discontinua a la

x!2

3

f (x)

2;

es continua a la

l m f (x) no existe

x! 1

l m f (x) = 0

x!+1

l m f (x) = +1

x! 2

izquierda de 3

8x 2 ] 1; 3]f (3) = 2; f ( 3) =

l m f (x) =

x!1

1

3;

f (0) = 0
2.

Conceptos teóricos

1. ¿Bajo qué condición se satisface que
¿Por qué es correcto a…rmar que l m

x2
x2

5x + 6
x 2
=
?
9
x+3

x2

x!3

x2

5x + 6
x 2
= lm
?
x!3 x + 3
9

2. ¿Es posible que exista una función f tal que l m f (x) = 5 y
x! 1

su respuesta.

l m f (x) = +1? Justi…que

x! 13. Sea f una función tal que l m f (x) = 7; ¿es posible que f (3) = 5? Justi…que su respuesta.
x!3

4. Considere la función g : I
R f 2; 3g ! I de…nida por:
R
8
4 x2
>
>
>
si x < 1
> (x + 2) (x + 3)
>
>
>
>
>
>
<
g (x) =
si
1 x x
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: 2x2 1
si x 1
determine para cuáles valores reales, el límite existe.

5. Muestre por medio de un ejemplo que l...