Principio Hamiltoniano

PRINCIPIO HAMILTONIANO
Enunciado del Principio
Es posible enunciar las leyes de la mecánica bajo una forma más concisa y equivalente, pero por sobre todo, con un impacto más amplio; aplicable a cadadominio de la física. Esta nueva formulación es denominada “Principio de Hamilton” o “Principio de menor acción”. Puede ser enunciado de la siguiente forma:
“Para un sistema de Lagrange dado, entretodas las evoluciones imaginables del tiempo para la configuración q(t) (es una notación simplificada para todo el conjunto de grados de libertad q(t) = (q1(t),q2(t),…,qn(t)) la cual inicia y terminade una determinada manera (se habla de un camino), la evolución actual (decimos una trayectoria) es tal, que una cantidad llamada acción es estacionaria”.
Acción Funcional
Dado un camino q(t), laacción S es calculada por una integración de tiempo de la función de Lagrange L. Es una función de la función q(t) y se dice que es funcional. Más precisamente, definimos:

Su dimensión es de energía xtiempo. Naturalmente, existe un quantum de acción (la acción más pequeña permitida), la cual es la constante de Planck, ħ. Debido a que esta constante es tan pequeña, el efecto de cuantificación soloes apreciable en sistemas microscópicos.
Gracias al cálculo de variaciones, puede mostrarse que la expresión para estacionarios de la acción con límites fijos:
δS = S(q+ε) – S(q) = 0 + O(ε2)
Esequivalente a la ecuación de Lagrange

Por ello, una condición única en el funcional es equivalente a “n” condiciones locales.
Acción y Teoría de Campo
Cuando el número de grados de libertad es infinito, unafunción continua , conocida como campo, reemplaza el número infinito de funciones, qi(t): El campo el cuál reemplaza las coordenadas “q” representa la configuración del sistema especificado por lavariable continua x, la cual reemplaza el índice discreto “i”. La función de Lagrange, la cual depende del sistema de configuración es una integral sobre x de una densidad Lagrangiana la cuál es una...