principio multiplicativo

Principio multiplicativo.
Dados dos conjuntos:
A con n elementos y
B con r elementos
Si deseamos formar parejas de elementos elegidos de los conjuntos A y B en el orden indicado, se
tendrán n⋅ r parejas posibles
Ejemplo:
¿Cuántos números pares de dos cifras existen?
En este caso podríamos pensar que A representa el dígito de decenas y B el de unidades
Entonces A tiene 9 elementos = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y
B tiene 5 elementos {0, 2, 4, 6,8} por tanto el total de números de 2 cifras será

9 ⋅ 5 = 45 Números pares de 2 cifras.

Esto también se puede resolver usando los cajones multiplicadores

Concepto de factorial
Decimos que el factorial de un número natural n corresponde al producto de los
naturales consecutivos desde 1 hasta n.
Notación: n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3K ⋅ (n −1) ⋅ n
Notar que:

n! = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ K ⋅ 2 ⋅1
1444 444
2
3
(n −1)!

Por tanto n! = n ⋅ (n − 1)!
Si n = 1, se tiene

1! = 1 ⋅ (1 − 1)!
1! = 1 ⋅ (0)!

Permutaciones:
i.
Permutaciones lineales sin elementos repetidos
Veamos el siguiente caso:
¿Cuántos números distintos de de tres cifras se pueden formar con las cifras del número
725, si estos deben aparecer sólo una vez?Todas las posibilidades son:
275 - 257
527 - 572
725 - 752
Vemos que la cifra de centenas puede escogerse de 3 formas distintas (2,5 o 7) teniendo
elegido dicha cifra, la cifra de decenas sólo puede elegirse de 2 maneras diferentes, y por
último la cifra de unidades sólo puede escogerse de una forma.
Entonces por el principio multiplicativo tenemos que:

Pero esto es 3!

Entoncesdiremos que una permutación de n elementos corresponde a cada una
de las ordenaciones diferentes que es posible hacer con n elementos dados
Donde se cumple que:
Pn = n!
ii.

Permutaciones con elementos repetidos

Nos preguntamos ¿qué ocurre si me piden ordenar n elementos si hay en ellos algunos
elementos repetidos?
Veamos el siguiente ejemplo:
Determinemos todas las palabras distintas quese pueden formar con las letras de la palabra
a) CASA
{CASA, CAAS, CSAA, CSAA, CASA, CAAS
ACAS, ACSA, AACS, AASC, ASCA, ASAC
SACA, SAAC, SCAA, SCAA, SACA, SAAC
ACAS, ACSA, AACS, AASC, ASCA, ASAC}
, En total hay 24 palabras, pero de ellas tenemos sólo 12 casos distintos es decir:

12 =

4! 4!
=
2 2!

b) CAAA
{CAAA, CAAA, CAAA, CAAA, CAAA, CAAA
ACAA, ACAA, AACA, AAAC, AACA, AAACACAA, ACAA, AACA, AAAC, AACA, AAAC
ACAA, ACAA, AACA, AAAC, AACA, AAAC}
En este caso igual, tenemos 24 palabras, pero de ellas sólo 4 son diferentes:

4=

4! 4!
=
6 3!

c) CACA
{CACA, CAAC, CCAA, CCAA, CACA, CAAC
ACAC, ACCA, AACC, AACC, ACAC, ACCA
CACA, CAAC, CCAA, CCAA, CACA, CAAC
ACAC, ACCA, AACC, AACC, ACAC, ACCA}
En este caso igual, tenemos 24 palabras y de ellas sólo 6 sondiferentes:

6=

4!
4!
=
4 2!⋅2!

Entonces si queremos ordenar n elementos de los cuales hay p,q,r,s…. elementos iguales, se
obtendrá:

n!
Formas distintas de ordenarlas
p!⋅q!⋅r!⋅s!⋅t!⋅....
Variaciones o arreglos
Diremos que una variación es un arreglo de k elementos elegidos desde un total de n elementos
dados, donde importa el orden de elección, es decir se considerarán como gruposdiferentes si no
tienen el mismo orden (aunque posean a los mismos elementos).
Con un ejemplo siempre es más claro:
i.

De cuántas formas distintas se puede elegir una directiva compuesta por presidente,
vicepresidente y secretario de un total de 4 personas?
Digamos que las personas son A, B, C y D, entonces los cargos son:
P VP S
A B C
B A C
C A B
D A B

P VP S
A B D
B A D
C A D
DA C

P VP S
A C B
B C A
C B A
D B A

P VP S
A C B
B C D
C B D
D B C

P VP S
A D B
B D A
C D A
D C A

P VP S
A D C
B D C
C D B
D C B

En total hay 24 formas de elegir a esta directiva, y tenemos que 24 equivale a 4!

ii.

Para el mismo ejemplo anterior cuantas directivas compuestas sólo por presidente y
secretario se pueden formar?
En este caso los grupos...