Probabilidad Tema3

Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de
Probabilidad
Ejemplos resueltos y propuestos

Variables Aleatorias Discretas
Una variable aleatoria discreta 𝑋 de valores 𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑘 con funci´on
de probabilidad {𝑥𝑖 , 𝑝𝑖 }𝑖=1,...,𝑘 con 𝑝𝑖 = 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖 ) y cumpli´endose que
∑𝑘
∑𝑘
𝑝
=
1
tiene
esperanza
y
varianza
dadas
por
𝐸(𝑋)
=
𝑖
𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 1
𝑖=1
∑𝑘
2
𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)) 𝑝𝑖
Con funci´on dedistribuci´on de probabilidad
𝐹 (𝑥𝑗 ) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥𝑗 )

Ejemplos resueltos variables aleatorias
Ejemplo 1. Variable Aleatoria
Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30,40,50 y 60 con probabilidades 0.4,0.2,0.1 y 0.3. Represente en una tabla la funci´on de probabilidad,
𝑃 (𝑋 = 𝑥), y la funci´on de distribuci´on de probabilidad, 𝐹 (𝑋) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥),
y determine las siguientes probabilidades.1. 𝑃 (𝑋 ≤ 25)
2. 𝑃 (𝑋 ≥ 60)
3. 𝑃 (𝑋 < 40)
4. 𝑃 (𝑋 > 40)
5. 𝑃 (30 ≤ 𝑋 ≤ 60)

1

6. 𝑃 (30 ≤ 𝑋 < 60)
7. 𝑃 (30 < 𝑋 ≤ 60)
8. 𝑃 (30 < 𝑋 < 60)
Obtenga la esperanza y varianza de X

Soluci´
on Ejemplo 1
Distribuci´on de probabilidad de X
X
30
40
50
60

𝑃 (𝑋 = 𝑥)
0.4
0.2
0.1
0.3

Funci´on de distribuci´on de probabilidad de X
X 𝐹 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥)
30
0.4
40
0.6
50
0.7
60
1.0
1. 𝑃 (𝑋 ≤ 25) = 0
2. 𝑃 (𝑋 ≥ 60)= 𝑃 (𝑋 = 60) = 0,3
3. 𝑃 (𝑋 < 40) = 𝑃 (𝑋 = 30) = 0,4
4. 𝑃 (𝑋 > 40) = 1 − 𝑃 (𝑋 ≤ 40) = 1 − 𝐹 (40) = 0,4
5. 𝑃 (30 ≤ 𝑋 ≤ 60) = 𝑃 (𝑋 ≤ 60) − 𝑃 (𝑋 < 30) = 𝐹 (60) − 0 = 1
6. 𝑃 (30 ≤ 𝑋 < 60) = 𝑃 (𝑋 ≤ 50) − 𝑃 (𝑋 < 30) = 𝐹 (50) − 0 = 0,7
7. 𝑃 (30 < 𝑋 ≤ 60) = 𝐹 (60) − 𝐹 (30) = 1 − 0,4 = 0,6
8. 𝑃 (30 < 𝑋 < 60) = 𝐹 (50) − 𝐹 (30) = 0,7 − 0,4 = 0,3
2

C´alculo de la Esperanza matem´atica, 𝐸(𝑋)
X 𝑃 (𝑋 = 𝑥)
300.4
40
0.2
50
0.1
60
0.3

𝑥𝑃 (𝑋 = 𝑥)
12
8
5
18

𝐸(𝑋) = Σ𝑘𝑖=1 𝑥𝑖 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 12 + 8 + 5 + 18 = 43
C´alculo de la varianza y desviaci´on t´ıpica
X
30
40
50
60

P(X=x) 𝑥𝑃 (𝑋 = 𝑥) 𝑥2 𝑃 (𝑋 = 𝑥)
0.4
12
360
0.2
8
320
0.1
5
250
0.3
18
1080
1
45
2010

𝑉√(𝑋) = Σ𝑘𝑖=1 𝑥2𝑖 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖 ) − 𝐸(𝑋)2 = 2010 − 432 = 161
𝜎 = 161 = 12,69

Ejemplos propuestos variables aleatorias
Ejemplo 1
Con la variable aleatoria X,cuya funci´on de probabilidad viene dada en
la tabla siguiente
X P(X)
10 0.1
12 0.3
14 0.25
15 0.14
17
20 0.15
1. Determine la esperanza y varianza
2. Determine la funci´on de distribuci´on de probabilidad
3

3. Determine 𝐹 (33), 𝐹 (14,5), 𝐹 (3), 𝑃 (10,5 < 𝑋 ≤ 17,5)

4

5

Ejemplo 2
Un trabajador recibir´a un premio de 3000, 2000 o 1000 euros, seg´
un el
tiempo que tarde en realizar un trabajo enmenos de 10 horas, entre 10 y
15 horas y m´as de 15 horas, respectivamente. La probabilidad de realizar el
trabajo en cada uno de estos casos es de 0.1, 0.4 y 0.5.
1. Determine la esperanza y la funci´on de probabilidad de la variable
aleatoria X=premio recibido.
2. Defina una nueva variable aleatoria,Y, con valor 1 si tarda menos de
10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga distribuci´on deprobabilidad, esperanza y varianza

Variables aleatorias discretas con modelos est´
andar
Variable Binomial
Variable X discreta definida como el recuento de ´exitos entre un n´
umero,
n, de pruebas:
𝑋 → 𝐵(𝑛, 𝑝)
con funci´on de probabilidad definida por
𝑃 (𝑋 = 𝑘) =

𝑛!
𝑝𝑘 𝑞 (𝑛−𝑘)
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!

con
𝑝 = 𝑃 (´
𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜) 𝑦 𝑞 = 1 − 𝑝 = 𝑃 (𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜)

Ejemplos resueltos Variable Binomial
Ejemplo 1
En una Facultadel 35 % de los alumnos realiza alg´
un deporte. Se ha
obtenido una muestra de 10 alumnos de dicha Facultad
1. ¿Qu´e modelo sigue la variable 𝑋 = no de alumnos que realiza alg´
un
1
deporte entre los 10 seleccionados ?.
1

Recuento de ´exitos entre las n pruebas

6

2. Esperanza y varianza de la variable.
3. Probabilidad de que m´as de 2 realicen alg´
un deporte.
4. Probabilidad de que entre 2 y 8inclusive, realicen alg´
un deporte.
5. Probabilidad de que menos de la mitad realice alg´
un deporte.

Soluci´
on ejemplo 1 Binomial
1. La variable definida sigue un modelo binomial de par´ametros n=10 y
p=0.35.
𝑋 → 𝐵(10, 0,35)

2. La Esperanza y varianza de la variable definida vienen dadas por:
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 10 ⋅ 0,35 = 3,5
𝑉 (𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 = 10 ⋅ 0,35 ⋅ 0,65 = 2,275
3. Probabilidad de que m´as de 2...