Probabilidad Y Estadistica

Problemas
Ejemplo 4.- El área total de una caja con base cuadrada es de . ¿Qué dimensiones debe tener para que el volumen sea máximo?
Solución: Sean Volumen de la caja: VLado de la basecuadrada: Altura de la caja: Área total Área total lateral: Área de las tapas cuadradas:   Por lo tanto Despejando y de la ecuación 2) Sustituyendo en 1):     | Hallamos la derivada: Resolvemos laecuación: Valores críticos:  Hallamos la segunda derivada:  Aplicamos el criterio de la segunda derivada  En , hay un volumen máximo dado por  En consecuencia, las dimensiones que debe tener la caja para un volumenmáximo son: Lado de la base cuadrada: Altura de la caja:  Por lo tanto, la caja debe ser un cubo. |
Ejemplo 5. Hallar la altura de un cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un conocircular recto.
 
Solución: Sean Altura del cono: hRadio de la base del cono: rAltura del cilindro: xRadio de la base del cilindro: yVolumen del cilindro: V  Por semejanza de triángulos se cumpleque Despejando a y : ----------1) Volumen del cilindro: ----------2) Sustituyendo 1) en 2):    | Hallamos la derivada de la función  Resolvemos la ecuación   Los valores críticos son: ,  Hallamos la segundaderivadaAplicando el criterio de la segunda derivada Por lo tanto En existe un volumen mínimo dado por  En existe un volumen máximo dado por  Las dimensiones del cilindro de volumen máximoson: Altura: ; Radio de la base:  |
Ejemplo 6.- Hallar las dimensiones del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio r .
 
Solución: Sean Radio de la esfera: rAltura del cono: xRadio dela base del cono: yVolumen del cono: V  Por geometría, se sabe que: Es decir----------1) El volumen del cono es----------2)Sustituyendo la ecuación 1) en 2): Hallamos la derivada de la función:   |Resolvemos la ecuación : Los valores críticos son:  Hallamos la segunda derivada:  Aplicando el criterio de la segunda derivada: Por lo tantoEn , existe un volumen mínimo dado por En , existe...