Probabilidad

Cap´ıtulo 3

Probabilidad Condicional
e Independencia
3.1.

Introducci´
on.

Consideremos una poblaci´on de 20 estudiantes entre los cuales hay 14 que estudian Medicina y 6 que
estudian Ingenier´ıa. De esta poblaci´on se escogen sin reposici´on dos estudiantes al azar y se consideran
los eventos:
E1 : “El primer estudiante seleccionado estudia Medicina”.
E2 : “El segundo estudianteseleccionado estudia Medicina”.
El espacio muestral que consideramos consiste de la colecci´on de todos los pares ordenados
(ai , aj );

(ai , bk );

(bk , ai );

(bk , bh )

donde los ai son estudiantes de Medicina y los bj son de Ingenier´ıa, i = j; k = h; i, j ≤ 14; h, k ≤ 6. El
n´
umero de eventos elementales es 20 × 19.
La siguiente tabla de doble entrada indica el n´
umero depuntos muestrales correspondientes a la
partici´on de Ω seg´
un los eventos E1 , E2 y sus complementos. En la u
´ltima fila aparecen los totales
correspondientes a cada columna y en la u
´ltima columna los correspondientes a cada fila.

E1
E1c

E2

E2c

14×13
6×14

14×6
6×5

14×19
6×19

14×19

6×19

20×19

Tabla 3.1
Utilizando este cuadro podemos calcular f´acilmentelas probabilidades de eventos tales como
P (E1 ∩ E2 ) =

14 × 13
;
20 × 19

P (E1 ) =

14 × 19
;
20 × 19

P (E1c ∩ E2 ) =

6 × 14
.
20 × 19

Si suponemos que el primer estudiante estudia Medicina, ¿cu´al es la probabilidad de que el segundo
tambi´en?
En este caso vemos, a partir de la tabla, que hay 14 × 19 resultados posibles, de los cuales 14 × 13 son
favorables al evento E2y por lo tanto la probabilidad que deseamos calcular es
(14 × 13)/(20 × 19)
P (E1 ∩ E2 )
14 × 13
=
=
.
14 × 19
(14 × 19)/(20 × 19)
P (E1 )

CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

54

La probabilidad que hemos calculado se llama “probabilidad condicional de E2 dado E1 ” y se denota
P (E2 |E1 ).
7
13
Observamos que P (E2 ) = 14×19
o E1
20×19 = 10 no coincidecon P (E2 |E1 ) = 19 . Al saber que ocurri´
disponemos de cierta informaci´on adicional que modifica nuestro espacio muestral: la nueva poblaci´on,
para la segunda extracci´on, no coincide con la original, ya que s´olo quedan 13 estudiantes de Medicina
de un total de 19 estudiantes posibles.
Notemos adem´as que si las extracciones se realizan con reposici´on esto no ocurre, ya que el resultadode la primera extracci´on no nos da ninguna informaci´on sobre la segunda. En este caso se tiene:
P (E2 |E1 ) = P (E2 ) =

7
.
10

Definici´
on 3.1 Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y sea B ∈ A tal que P (B) > 0. Definimos una
nueva funci´on P (·|B) de A en R mediante
P (A|B) =

P (A ∩ B)
P (B)

para todo A ∈ A.

Esta funci´on P (·|B) que hemos definido es unaprobabilidad; en efecto:
1. P (A|B) ≥ 0 para todo A ∈ A.
2. P (Ω|B) =

P (Ω∩B)
P (B)

=

P (B)
P (B)

= 1.

3. Sean A1 , A2 , . . . conjuntos disjuntos en A, entonces
∞

P(

∞

Ai |B) =

i=1

=

P (B ∩ i=1 Ai )
P(
=
P (B)
∞
i=1

P (B ∩ Ai )
=
P (B)

∞
i=1

B ∩ Ai )
P (B)

∞

P (Ai |B).
i=1

P (·|B) se llama probabilidad condicional dado B.
Dos propiedadeselementales de la probabilidad condicional son las siguientes:
Si A y B son disjuntos, entonces P (A|B) = 0. En efecto,
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∩ B) = 0

y

P (A|B) =

P (A ∩ B)
= 0.
P (B)

Si B ⊂ A entonces P (A|B) = 1 ya que en este caso P (A ∩ B) = P (B).
Ejemplos
1. Se lanzan dos dados hasta que la suma de los puntos sea 7 u 8. Si sale 7 gana el jugador A, si sale
8 gana B. ¿Cu´al es laprobabilidad de que gane A?
Vamos a resolver este problema de dos maneras. Supongamos primero que al cabo de n lanzamientos
gana A. Esto quiere decir que en los n − 1 primeros lanzamientos no sali´o ni 7 ni 8, y que en el
n-´esimo se obtuvo 7. Este evento tiene probabilidad
pn =

1
6

25
36

n−1

.

´
3.1. INTRODUCCION.

55

De esta manera, la probabilidad de que A gane es:...