Probabilidad

CARFERZEA

Guia de trabajo Profesor : Carlos Fernando Zea. ( CARFER ) Técnicas de Conteo Hay ocasiones en donde se necesita listar o enumerar los elementos o resultados que se pueden dar en un experimento dado. Pero el realizar una lista en donde aparezcan cada uno de dichos elementos puede resultar muy tedioso y en ocasiones complicado. Para ello se pueden utilizar algunos métodos quefacilitan el conteo del número total de datos sin tener que listarlos. Estas reglas y procedimientos son las denominadas técnicas de conteo.

Dentro de las técnicas más utilizadas tenemos:   

Principio fundamental del conteo. Permutaciones Combinaciones.

Antes de analizar cada una de las anteriores técnicas es necesario detenerse en el concepto matemático del número factorial, representado porn! , - n  N - , que consiste en el producto de los n factores menores o iguales a n. ( esto es la multiplicación de factores en forma descendente desde n hasta 1 ). Por ejemplo, 8! Indica el producto 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 *2 * 1 = 40320.

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 =

3! =

En general :

n! = n * (n – 1) * ( n – 2) * ( n – 3 ) * ..............* 3 * 2 * 1.

Convencionalmente y por suaplicación en la práctica, se define 0!= 1

A continuación se plantean algunos ejercicios para practicar el anterior concepto.
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A) ( 9 – 4 ) ! B) ( 4 + 3 – 2 ) ! c) 7! 5!

d) 10! . 5! * 3! e) 14! . 6! * ( 14 –6 )!

25! . ( 25 – 3 ) ! g) 16! . 8! * ( 16 – 8 ) !

f)

1. Principio Fundamental del conteo También conocidocomo la regla del producto, permite determinar el número de arreglos que se pueden hacer en un proceso que necesita de dos o más pasos. Por ejemplo:

Si se lanza simultáneamente una moneda y un dado, de cuántas maneras diferentes pueden caer?

Al listar los resultados que se obtienen tenemos las siguientes parejas:

( Cara , 1 ) ; ( Cara , 2 ) ; (

);(

);(

)

(

); (Sello, 1) ; (Sello , 2 ) ; (

Aplicando el principio fundamental del conteo basta con decir que por cada resultado de la moneda se pueden dar seis resultados en el dado, por lo tanto el número de posibles resultados se obtiene con el producto :

2 * 6 = 12

En cuántas maneras el resultado del dado es par ?

En cuántas el resultado de la moneda es cara ?

La regla del producto se puede enunciar de lasiguiente manera: Si un proceso se debe realizar en dos pasos y hay m formas de realizar el

primer paso y n maneas de realizar el segundo, existen m * n formas de llevarse a cabo el mismo proceso.
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Ejemplo 2 : Un catador profesional fue contratado para elegir, de entre un grupo de 4 vinos, los tres mejores. De cuántasmaneras puede hacer la elección ?

R/ En este caso el primer puesto puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro vinos, pero una vez elegido el ganador, solo quedan tres para el segundo y una ve z elegido éste quedarán dos para el tercer puesto. En este sentido y aplicando el principio fundamental del conteo, el número de posibles ternas es:

Primero

Segundo

Tercero

4

*

*

=El diagrama de árbol del ejemplo es : ( Termínelo)

Primero

Segundo V2

Tercero v3 v4

V1

V3

v2 v4

V4

v2 v3

V1 v4 V2 V3 v1 v4 V4 v1 v3 V1 V3 V2 V4

v3

V1 V4 V2 V3
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Ejemplo 3 : Una joven tiene una falda verde y una blanca, un par de zapatos blancos, unos rojos y unos negros; una blusa café, unablanca y una azul. Si no tiene perjuicios a la hora de vestirse, de cuántas formas puede hacerlo ?

R/ En este caso por cada falda tiene tres pares de zapatos y tres blusas, luego en total tiene :

Faldas

Zapatos

Blusas

*

*

=

Realiza el diagrama de árbol.

En el ejercicio anterior, de cuantas maneras se puede vestir utilizando solo los zapatos rojos ? R/

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