Probabilidad

DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN DISCRETA
Distribución Binomial

Este tipo de distribución se da cuando se repite varias veces la prueba de Bernouilli. La probabilidad de éxito será la misma en todas las repeticiones.

Definición: La v.a. X= “número de éxitos en n pruebas” se dice que sigue una distribución binomial de parámetros n y p, XB(n,p).

La variable puede tomarlos valores { 0,1, 2,..., n} y su función de probabilidad es :

P(X=k)=P(k éxitos en n pruebas)= pkqn-k
Donde = , p la probabilidad de éxito y q = 1-p.

Propiedades:
* Media: μ=np
* Varianza: VAR [X]=npq
* Propiedad reproductiva (para 2 variables): Si y son dos v.a. independientes distribuidas según una B ( , p) y B ( , p)respectivamente, entonces la v.a. X= + se distribuye según una B ( + , p)

Ejemplo:
El número de veces que aparece cara al lanzar una moneda 10 veces sigue una distribución binomial de media 5 y varianza 2,5.



Distribución Geométrica

Definición: En un proceso de Bernoulli con probabilidad p de éxito en cada prueba, la variable aleatoria X= “nº de pruebas en la que aparece el primer éxito” decimosque sigue una distribución geométrica de parámetro p, XG (p).

Los valores que puede tomar esta variable son X=1,2,... con probabilidades:

P(X=k) =qk -1 p

Propiedades:
* Media: μ=1/p
* Varianza: VAR [X]=q/p²

Ejemplo: Sabiendo que un jugador de parchís podrá empezar a mover sus fichas una vez obtenido un 5 al lanzar un dado:• ¿Cuál es la probabilidad de que comience a mover sus fichas en su cuarto lanzamiento de dado?
• ¿Cuál es el número esperado de turnos consumidos por un jugador de parchís para poder comenzar a mover sus fichas?
Solución: P [X=4]=0,096 y el número medio de lanzamientos de dado sería 6.




Distribución Binomial Negativa.

Definición: En un proceso de Bernoulli con probabilidad p de éxitoen cada prueba, la variable aleatoria X= “nº de prueba en la que aparece el éxito r-ésimo” decimos sigue una distribución binomial negativa de parámetros r y p, X BN(r, p) y su función de probabilidad es:
P(X=k)= qk-rpr donde k=r, r+1,......
Propiedades:
* Media: μ=r/p
* Varianza: VAR [X]=rq/p²
* Si r=1 tenemos la función de probabilidad de una distribuciónGeométrica.

Ejemplo:
a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que lanzar 10 veces el dado para obtener cuatro veces el número cinco?
b) ¿Cuál sería el número medio de veces que tendríamos que lanzar un dado para obtener cuatro cincos y así tener todas las fichas del parchís en juego?
Solución: P [X=10]=0,0217 y el número medio de veces sería 24 veces.



Distribución HipergeométricaConsideramos una población de tamaño N, dividida según la característica a estudiar, en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños y respectivamente, N = + . Por ejemplo una urna con N bolas, donde N = 1,2,3,... de las cuales son blancas y son negras. Tomamos una muestra aleatoria sin reemplazamiento de tamaño n, siendo n ≤N.

Definición: la v.a. X= “número de elementos que pertenecen auna de las subpoblaciones (consideramos la primera) cuando tomamos una muestra aleatoria sin reemplazamiento de tamaño n, de la población total” decimos que sigue una distribución hipergeométrica de parámetros N, N1,n, XH(N,N1,n) y su función de probabilidad es:

P(X=k) =
Propiedades:
* Media: μ=n p
* Varianza: VAR[X]=
* Aproximación a labinomial: Sea X una v.a. con distribución hipergeométrica H (N,n,p ). Entonces si N es muy grande en comparación con n, la distribución hipergeométrica se aproxima a la binomial. Es decir: H(N,n,p) B(n,p) si N→∞. Se considerará una buena aproximación cuando N >50 y n ≤0,1N

Ejemplo:
En una convención nacional, hay 50 representantes de un partido político, de los cuales 30 apoyan al...