Probabilidades Y Estadisticas

UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS
FACULTAD DE INGENIERIA
Profesores:

Araujo C.
Varas G.

Tablas de contingencia y diagramas de árbol
En los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar
la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.

A

Ac

Total

B

P(A∩B)

P(Ac∩B)

P(B)

Bc

P(A∩Bc)

P(Ac∩ Bc )

P(Bc)

P(A)

P(AP(Ac)

1

Total

B)
P (A /
P

P(B/A) = P(B∩A)

)
(B

P(B c
)

P(A)

B

P( A c
/B)

P( A

B’

c)
/B

P(A c
/B c)

A
Ac

A
Ac

P( B ∩ A ) = P( A/B ) · P( B )

Ejercicio de Tabla y Diagrama
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles
con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de
chapa, y por la tarde 2con problemas eléctricos, 3 con problemas
mecánicos y 1 con problemas de chapa.

a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas
mecánicos.
c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas
eléctricos acuda por la mañana.
Re
sp

ue
st
a

Eléctricos

Mecánicos

Chapa

Total

Mañana

3

8

314

Tarde

2

3

1

6

Total

5

11

4

20

Eléctricos

Mecánicos

Chapa

Total

Mañana

0.15

0.40

0.15

0.70

Tarde

0.10

0.15

0.05

0.30

Total

0.25

0.55

0.20

1

a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde.
b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el
55%.
c. P (acuda por lamañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6
Probabilidad Total
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una
ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la
primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la
tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús
se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, paracada línea.
Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Re
sp

ue
st
a

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2,
L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las
probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av / L1) + P(L2) · P(Av / L2) + P(L3) · P(Av / L3) =
= 0.6· 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =
= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

L1

0 ,6

0,3

0,02
0,98
0, 04

L2

0,
1

L3

0,96
0, 01
0,99

Teorema de Bayes
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1
negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y
extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de
habersido extraída de la urna A?
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra".
En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades
de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

A
3
1/

1/3

B

1/
3

C

8
3/

R

5/8

N

3
2/

R

1/3

N

5
2/

R

3/5

N

P(A) * P(R/A)

P(A/R) =

P(A)*P(R/A) +P(B)*P(R/B) + P(C)*P(R/C)
1/3 * 3/8

= 45/173 = 0.260

(1/3*3/8) + (1/3*2/3) + (1/3*2/5)

COMBINATORIA
En muchos problemas de probabilidades debemos citar todas las
alternativas posibles en una situación dada o por lo menos determinar
cuántas posibilidades diferentes existen.
La combinatoria proporciona los procedimientos y formulas necesarias para
contar las posibilidades que hay de elegir unconjunto de elementos con
determinadas características.
1. Regla de la multiplicación.
Si una operación consta de 2 pasos, de los cuales el primero puede
efectuarse de n1 formas y para cada una de éstas el segundo puede
realizarse de n2 formas, entonces toda la operación se lleva a cabo de n1·
n2 maneras.
Ej.: Supóngase que alguien desea viajar en 3 tipos de vehículos diferentes
para...