Probabilidades

El cálculo de la integral En matemáticas la integral de Gauss, o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana sobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es: Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continúa de Fourier; Tambiénaparece en la función de error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para: La forma más común de calcular la integral de Gauss en el plano R2 es mediante la integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer uncambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera: - Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como: Pero también puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas polares: pero si es posible evaluar la integral definida. La normalización es el proceso de elaborar, aplicar y mejorar las normas que se aplican adistintas actividades científicas, industriales o económicas con el fin de ordenarlas y mejorarlas La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, Los fenómenosaleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados ysaber si un suceso es más probable que otro. Aplicaciones La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente: Donde f es , es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. La transformada deFourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, laestadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. Sea f una función Lebesgue integrable: La transformada de Fourier de f es la función Esta integral tiene sentido, puesel integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definidad.

Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución deprobabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(cXd) se calcula como la área bajo el histograma entreX=c y X=d. Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el siguiente...