Problema 44

PROBLEMA 44
APARTADO a
Sea la variable X: Importe de las devoluciones fiscales, en pta. X ~ N(µ = 150000 , σ = 4.096 ⋅ 109 ) , se pide
100P(X>332772),
332772 − 150000
= 1 − P(Z ≤ 2.85) = 1 − FZ(2.85) = 1 − 0.9978 = 0.0022
P ( X > 332772 ) = 1 − P(X ≤ 332772) = 1 − P(Z ≤
4.096 ⋅ 109
por tanto el porcentaje de devoluciones “importantes” es el 0.22%

APARTADO b
Sea la variable Y: Número dedevoluciones “importantes” de las 30. Cada devolución es una prueba dicotómica,
siendo éxito el que sea “importante”, con probabilidad 0.0022. Así Y~B(n=30 , p=0.0022), y hay que calcular
P(Y≥1).
 30 Directamente P ( Y ≥ 1) = 1 − P ( Y < 1) = 1 − P ( Y = 0 ) = 1 −   (0.0022)0 (1 − 0.0022)30 = 1 − (1 − 0022)30 = 0.06397
 0
P(Y=0) también se podría buscar en las tablas estadísticas aproximando 0.066a 0.05:
P(Y=0)=b(n=30, p=0.05, y=0)=0.2146
Una segunda forma de calcularla sería aproximando el modelo Binomial anterior al de Poisson, pues n es elevado
(30) y p pequeño (0.0022):Y→P(λ=np=30·0.0022=0.066), con lo que
(0.066)0
P ( Y ≥ 1) = 1 − P ( Y < 1) = 1 − P ( Y = 0 ) = 1 − e −0.066
= 1 − e −0.066 = 0.06386
0!
P(Y=0) también se podría buscar en las tablas estadísticas aproximando 0.066 a 0.1,pero sería muy mala
aproximación, aunque se daría por válida: p(Y=0)=p(λ=0.1, y=0)=0.9048
APARTADO c
Sea ahora X´: Importe, en pesetas, de las nuevas devoluciones. X´=X+16386, cambio de origen, con loque
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E(X)=E(X´)+16386=150000+16386=166386 y Var(X´)=Var(X)=4.096·10 , sólo se ve afectada la media, y así:

X´= X + 16386 ~ N(166386, 4.096 ⋅ 109 ) , con lo que

(

)

P X´ > 332772 = 1 − P(X´ ≤332772) = 1 − P(Z ≤

332772 − 166386
4.096 ⋅ 109

= 1 − P(Z ≤ 2.59) = 1 − FZ (2.59) = 1 − 0.9952 = 0.0048

el porcentaje ahora sería el 0.48%

APARTADO d
Expresando las magnitudes en euros:
Importe de lasdevoluciones fiscales, en euros. T=(1/166.386)X=0.00601X, cambio de escala en X que afecta a la
media y a la desviación estándar. El importe ahora de las devoluciones “importantes” serían las...