PROBLEMARIO ANALISIS VECTORIAL

Problemas resueltos
Capítulos 2, 3, 4, 5.
Texto:
ANALISIS VECTORIAL
Autor:
MURRAY R. SPIEGEL
Editorial:
Mc- Graw Hill
*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve
introduccion a los mismos.
Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran.
(Palabras repetidas hallar demostar).*
Problemas Capitulo 2
Ejercicios:
1.Demostrarque A ⋅ B = B ⋅ A
Solución:
A ⋅ B = AB cos θ = BA cos θ = B ⋅ A
Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa
2.Demostrar que A ⋅ B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el valor unitario en la
dirección y sentido de B
(FIGURA)

Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A
cortan a aquel en los puntos
Gy H , respctivamente, por lo tanto.
Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH = EF = A cos θ = A ⋅ b
3.-(Lleva figura)
Demostrar que A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C
Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A + proyección de C sobre A
B + C ⋅ a = B ⋅ a + C ⋅ a
Multiplicando por A.
B + C ⋅ Aa = B ⋅ Aa + C ⋅ Aa
y B + C ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A
Teniendo en cuenta lapropiedad del voltaje en magnitud escalar
A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C
Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma
4.-Demostrar que A + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D del problema 3,
A + B ⋅ C + D =
A ⋅ C + D + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D
luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria.
5.Hallar losescalares siguientes:
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 
a i ⋅ i = i i cos 0 ∘ = 111 = 1
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 
b j ⋅ k = j k cos 90 ∘ = 110 = 0
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c k ⋅ j = k j cos 90 ∘ = 110 = 0
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dj ⋅ 2i − 3 j + kk = 2j ⋅ i − 3 i ⋅ i + j ⋅ k = 0 − 3 =
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e 2 i − j ⋅ 3 i + k = 6 i ⋅ i + 2 i ⋅ k − 3 j ⋅ i − j ⋅ k = 6 + 0 − 0 − 0 = 6
6.-

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Si A = A 1 i + A= j + AK y B = B ⋅ i + B ⋅ j + B ⋅ k, demostrar que
A ⋅ B = A1B1 + A2B2 + A3B3
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A ⋅ B = A1 i + A2 j + A3 k ⋅ B1 i B2 j B3 k
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= A 1 i B 1 i + A 2 j B 2 j + A3 kB 3 k
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= i A 1 B 1  + j A 2 B 2  + kA 3 B 3 
= A 1 B 1 + A 2 B 2 + A3 B3
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Ya que i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 y todos los demas productos escalares son nulos
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7.-Siendo A = A i+ A 2 j + A 3 k, demostrar que A = A ⋅ A = A 2 + A 22 + A 23
A ⋅ A = AA cos 0 ∘ = A 2 = luego A = A ⋅ A
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Tambien, A ⋅ A = A 1 i + A 2 j + A 3 k × A 1 i + A 2 j + A 3 k
= A 1 A 1  + A 2 A 2  + A 3 A 3  = A 21 + A 22 + A 23
Del problema 6 tomamos B = A
Por lo tanto, A = A ⋅ A = A 21 + A 22 + A 23 es le modelo de A
8.
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Hallar el angulo formado porlos vectores A = 2 i + 2 j + 2 k y B = 6 i − 3 j + 2 k
A ⋅ B = AB cos θ, A = 2 2 + 2 2 + −1 2 = 3, B = 6 2 + −3 2 + 2 2 = 7
A ⋅ B = 26 + 2−3 + −12 = 12 − 6 − 2 = 4
4
Por lo tanto, cos θ A⋅B
= 37
= 214 = 0. 1905 de donde θ = 79 ∘ , aproximadamente
AB
9.Si A ⋅ B = 0, A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B
Si A ⋅ B = AB cos θ = 0, entoncescos θ = 0, 0 sin θ = 90 ∘ aproximadamente;
θ = 90 ∘ ; A ⋅ B = 0
10.
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Hallar el valor de ade forma que A = 2 i + a j + k y B = 4 i − 2 j − 2 k sean perpendiculares.
Del problema 9, A y B son perpendiculares si A ⋅ B = 0
Por lo tanto, A ⋅ B = 24 + 0−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0, de donde, a es igual a 3.
−2a = −8 + 2
a = −6
−2
a=3
11.
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Demostrarque los vectores A = 3 i − 2 j + k, B = i − 3 j + 5 k, C = 2 i + j − 4 k forman un
triangulo rectángulo

(GRÁFICA)

Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente
d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1 y 2
b La resultante de los vectores 1 + 2 + 3 es el vector nulo. Como indican las figuras,...