problemas de control

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Análisis del lugar geométrico de las raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona
estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de
lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de laganancia de lazo
elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica.
W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que
se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar
geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los
valores deun parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la
cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de
transferencia en lazo abierto.

Sea el siguiente sistema de control

La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

G s 

C s
K
 2
R  s  s  4s  K

K
s  s  4

La ecuacióncaracterística de lazo cerrado

s 2  4s  K  0
Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son

s1 , s2  2  4  K

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K

s1

s2

0
1
2
3
4
5
8
13

-4
-3.732
-3.414
-3
-2
-2-i
-2-2i
-2-3i

0
-0.267
-0.585
-1
-2
-2+i
-2+2i
-2+3i

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Trayectoria del
lugar
geométrico de
las raíces

Lugar geométrico de las raíces

De la grafica:
El sistema es estable si K  0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo
del plano s .
Respuesta transitoria
1. Sobreamortiguada   1 (Polos reales y diferentes)

0 K 4
2. Críticamente amortiguada   1 (Polos reales e iguales)

K 4
3.Subamortiguada  0    1 (Polos complejos conjugados)

K 4
4. Sin amortiguamiento   0  (Polos imaginarios)
No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.

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Gráfica dellugar geométrico de las raíces
Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

C s
Rs



G s

1 G s H s

La ecuación característica de este sistema es

1 G s H s  0
o bien

G  s  H  s   1

El término G  s  H  s  es un cociente de polinomios en s .
Como G  s  H  s  es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud yángulo
Condición de ángulo

G  s  H  s   180º  2k  1
Condición de magnitud

 k  0,1, 2, 

G s H s 1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces
de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una
gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición deángulo. Las raíces de
la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la
ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

Magnitud y Ángulo en el plano s.
Por ejemplo Si G  s  H  s  es

G s H s 

K  s  z1 

 s  p1  s  p2  s  p3  s  p4 

en donde  p2 y  p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G  s  H  s es

G  s  H  s     s  z1     s  p1     s  p2     s  p3     s  p4 
G  s  H  s   1  1  2  3  4

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La magnitud de G  s  H  s  para este sistema es

G s...