Problemas de ejercitacion

Instituto Politécnico Nacional

ESIME Culhuacan
Unidad II “Fundamentos de la teoría de
probabilidad”

Materia: Probabilidad y estadística

Profesor: Amparo Bañuelos

INDICE

Axiomas de Probabilidad…………………………….….….2

Técnicas de Conteo………………………………..……….11

Probabilidad Condicional……………..…………………..15

Eventos Independientes…………………..……………….17

Teorema de Bayes…………………..………………………181

UNIDAD 2
FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDAD
La probabilidad se define como evento entre espacio muestreado.
Evento: Es el numero de casos favorables.
Espacio Muestral: Es el numero total de casos posibles.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1) La probabilidad de 1 evento toma valores entre cero y uno.
0  P( E )  1
2) La suma de probabilidades de los eventos que forman el espaciomuestral es igual a 1.
 P( E) 1
Ejemplo:
Dado S  {1,2,3,4,5,6}
P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  P(5)  P(6)  1

1 1 1 1 1 1
     1
6 6 6 6 6 6

3) La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a 1- la probabilidad
de que el evento ocurra.

A

B

P( A´)  1  P( A)

2

4) La probabilidad de la unión de 2 eventos que son mutuamente excluyentes
es igual a la suma desus probabilidades.

A

B

P( A  B´)  P( A)  P( B)

5) La probabilidad de la unión de eventos que son colectivamente exhaustivos
es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ambos
ocurran.
A

B

2
1

3

P( A  B´)  P( A)  P( B)  P( A  B)
 {1,2}  {2,3}  {2}

A

B
1

2

3

5
4

6
7

C

P( A  B  C´)  P( A)  P( B)  P(C) P( A  B)  P( A  C)  P( B  C)  P( A  B  C)
 {1,2,4,5}  {2,3,5,6}  {4,5,6,7}  {2,5}  {4,5}  {5,6}  {5}

3

Sea S  {a1 , a2 , a3 , a4 } y sea P una función de probabilidades de S :
1
1
1
a) Hallar P(a1 ) si P(a 2 )  , P(a3 )  y P(a 4 ) 
3
6
9
1
b) Hallar P(a1 ) y P(a2 ) si P(a3 )  P(a4 )  y P(a1 )  2P(a2 )
4
2
1
1
c) Hallar P(a1 ) si P(a2 , a3 )  , P(a2 , a4)  y P(a2 ) 
3
2
3
Solución:
1 1 1 7
a) P(a1 )  1      
 3 6 9  18
b) P(a1 )  P(a3 )  2P(a2 )  P(a2 )  P(a4 )  P(a3 )
P(a1 )  P(a3 )  3P(a2 )  P(a4 )  P(a3 )
1  3P ( a 2 ) 

1
2

1
 3P ( a 2 )
2
1
P(a 2 ) 
6
P(a1 )  2P(a2 )

1

1
P(a1 )  2 
6
1
P(a1 ) 
3
c) P(a1 )  P(a2 )  P(a3 )  P(a4 )  1

1  ( P(a1 )  P(a2 )  P(a3 )) P(a4 )
1  ( P(a1 )  P(a2 )  P(a3 ))  P(a4 )
2
3
2 1 1
P ( a3 )   
3 3 3
1
P( a 2 )  P( a 4 ) 
2
1 1 1
P(a4 )   
2 3 6
P(a2 )  P(a3 ) 

1 1 1 1
P(a1 )  1  P(a2 )  P(a3 )  P(a4 )  1    
3 3 6 6

4

Tres estudiantes A, B Y C intervienen en una prueba de natación A y B tienen
la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la probabilidad deque gane B o C.
S  {A, B, C}

P( A)  P( B)  P(C)  1
P( A)  P( B)  2P(C )
2P(C)  2P(C)  P(C)  1

5P(C )  1

1
5
2
P( B) 
5
P( B  C)  P( B)  P(C)
P(C ) 

P( B  C ) 

2 1 3
 
5 5 5

De 120 estudiantes 60 estudian francés,50 español y 20 estudian francés y
español. Si se escoge un estudiante al azar hallar la probabilidad de que el
estudiante:
a) Estudiefrancés y español.
b) No estudie francés ni español.

a) F=60,E=50 , P( F  E )  20
S  {120}

20
 0.1667  16.67%
120
30
b) P( F  E ) 
 0.25  25%
120
P( F  E ) 

5

El departamento de publicidad Dell palacio de bronce efectuó una encuesta a
un grupo seleccionado de 1000 clientes de entre todos los que abrieron su
cuenta de crédito en el pasado desde diciembre.
Losresultados de la encuesta se han tabulado así:
Mercancía
#De personas
Artículos para hogar
275
Artículos para vestir
400
Juguetes
550
Artículos para hogar y vestir
150
Artículos para hogar y juguetes
110
Artículos para vestir y juguetes
250
Artículos para vestir, juguetes y del hogar
100

a) Si se selecciona al azar a uno de estos clientes determine la posibilidad
de que no usara...