PROBLEMAS RESUELTOS ECUACIONES DIFERENCIALES

Practica n.-1
I) Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que
cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.
a)

y  C1senx  C2 x es solución de (1  xctgx ) y   xy   y  0

Solución:

y  C1 Senx  C2 x
y  C1cosx  C2
y  C1Senx
(1  x c tgx) y  (1 xctgx)(C1Senx)  C1senx  C2 x cos x ……….. (1)
 xy   x(C1cosx  C2 )   xC1cosx  C2 x …………………. (2)

y  C1 Senx  C2 x …………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)

(1  x c tgx) y  xy  y  C1senx  C1 x cos x  C1 x cos x  C2 x  C1senx  C2 x
(1  x c tgx ) y   xy   y  0
x
x
x
x
2 x
b) y  C1e  C2 xe  C3 e  2 x e es solución de y   y  y  y  8eSolución:

y  C1e x  C2 xe x  C3 e  x  2 x 2 e x

y  C1e x  C2e x  C2 xe x  C3e x  4xe x  2x 2e x
y  C1e x  C2e x  C2e x  C2 xe x  C3e x  4e x  4xe x  4xe x  2x 2e x

y  C1e x  C2ex  C2ex  C2ex  C2 xex  C3e x  4ex
4e x  4 xe x  4e x  4 xe x  4 xe x  2 x 2 e x .......… .. (1)

 y  C1ex  C2ex  C2ex  C2 xex  C3e x  4ex
4 xe x  4 xe x  2 x 2 ex ……………………..… … (2)

 y  C1e x  C2e x  C2 xe x  C3e x  4 xe x  2 x2e x … ….. (3)
y  C1e x  C2 xe x  C3 e  x  2 x 2 e x ………………….. (4)
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

y   y   y   y  C1e x  C2e x  C2e x  C2e x  C2 xe x  C3e x
4e x  4e x  4 xe x 4e x  4 xe x  4 xe x  2 x 2 e x
C1e x  C2e x  C2e x  C2 xe x  C3e x 4e x  4 xe x
4 xe x  2 x 2 ex C1e x  C2e x  C2 xex  C3e x

4 xe x  2 x 2 e x C1e x  C2 xex  C3e x  2 x2 ex

y  y  y  y  8e x

2) Demostrar que y  2 x  Ce

x

es la solución de la ecuación diferencial, y y   y  2  2 x hallar la

solución particular para x  0, y  3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
Solución:

y  2 x  Ce x
y   2  Ce x ……………………..(1)
 y  2 x  Ce x ……………………..(2)
Luego sumamos (1) y (2)

y  y  2  Ce x  2 x  Ce x
y  y  2  2 x

( x, y )  (0, 3)

3  2(0)  Ce0

La ecuación de la curva integral es:



C 3

y  2 x  3e x

3) Demostrar que y  C1e  C 2 e  x es solución de y   3 y   2 y  2 x  3 y hallar la ecuación
de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
x

2xSolución:

y  C1e x  C 2 e 2 x  x
y   C1e x  2C2 e 2 x  1

y  C1e x  4C2e2 x ………………….…… (1)
3 y  3C1e x  6C2e2 x  3 …….………..… (2)
2 y  2C1e x  2C2 e 2 x  2 x ….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)

y   3 y   2 y  C1e x  4C2e2 x 3C1e x  6C2e2 x  3
y   3 y   2 y  2 x  3
( x, y )  (0, 0)

0  C1e0  C2e2(0)  0
0  C1  C2



C2  C12C1e x  2C2e2 x  2 x

0  C1e1  C2 e 2(1)  1

( x, y )  (1, 0)

C1 

1
e(e  1)

C1e(e  1)  1



0  C1e  C1e2  1

C2  



1
e(e  1)

La ecuación de la curva integral es:

y

ex
e2 x

x
e(e  1) e(e  1)

4) Demostrar que ( y  C )  Cx es la primitiva de la ecuación diferencial 4 xy   2 xy   y  0 y
hallar las ecuaciones de las curvasintegrales que pasan por el punto (1,2)
2

5) La primitiva de la ecuación diferencial xy   y es y  Cx . Hallar la ecuación de la curva integral
que pasa por el punto (1,2)
Solución:

y  Cx

y  C

xy   xC


xy   y

( x, y )  (1, 2)

2  C (1)

La ecuación de la curva integral es:



C2

y  2x

6) Comprobar que y  C1cosx  C2 senx y, y  Acos ( x  B ) sonprimitivas de y   y  0
demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.
Solución:
. y  C1cosx  C2 senx

y  C1senx  C2 cos x
y  C1Cosx  C2 Senx …………………….. (1)
y  C1cosx  C2 senx ………………………(2)
Luego sumamos (1) y (2)

y   y  C1Cosx  C2 Senx C1cosx  C2 senx
y   y  0

. y  Acos ( x  B )

y    Asen ( x  B )
y    Acos ( x  B )...