Problemas resueltos f.vectoriales

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marín

1
1.1
1.1.1

PROBLEMAS RESUELTOS
Continuidad y diferenciabilidad
Problema

Dada la función f : IR2 ! IR de…nida como ( xy ; si (x; y) 6= (0; 0) arctg 2 x + y2 : f (x; y) = 0 ; si (x; y) = (0; 0) a) Veri…car si f escontinua en IR2 @f @f b) Calcular si existen las derivadas parciales ; en IR2 @x @y Solución. a) Tenemos que f (x; y) es continua 8 (x; y) 6= (0; 0) puesto que es xy composicion de dos funciones continuas, como son arctg y 2 : x + y2 Para estudiar la continuidad en el punto (0; 0) tenemos que calcular lim f (x; y) lo que haremos a través de la trayectoria y = mx,
(x;y)!(0;0)

mx2 m = limarctg 2 + y2x!0 x!0 x 2 + m2 (x;y)!(0;0) que depende de la pendiente m, por lo que este limite no existe. Por lo tanto f no es continua en el punto(0; 0) b) Para (x; y) 6= (0; 0) la función admite derivadas parciales, que son: @f y 2 x2 @f x2 y 2 (x; y) = y 2 ; (x; y) = x 2 @x (x + y 2 )2 + x2 y 2 @y (x + y 2 )2 + x2 y 2 Para (x; y) = (0; 0) ;se tiene f (h; 0) f (0; 0) arctg0 0 @f (0; 0) = lim = lim = lim0 =0 h!0 h!0 h!0 @x h h f (0; h) f (0; 0) arctg0 0 @f (0; 0) = lim = lim = lim0 = 0 h!0 h!0 h!0 @y h h Por lo tanto, existen las derivadas parciales en (x; y) = (0; 0) : entonces lim f (x; mx) = limarctg 1.1.2 Problema

Dada la función f : IR2 ! IR de…nida como 8 2 < x seny 2 ; si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = ;probar que es x2 + y 2 : 0 ; si (x; y) = (0; 0)

diferenciable en el punto P0 = (0; 0):¿Es continua la función en ese punto? 1

"

Solución. Tenemos que utilizar la de…nición y ver si el siguiente límite es cero: h2 senk 2 j f df j p ; con f = f (h; k) f (0; 0) = 2 ;y L= lim h + k2 (h;k)!(0;;0) h2 + k 2 @f @f df = (0; 0) h + (0; 0) k @x @y donde h2 0 0 2 @f f (h; 0) f (0; 0) (0; 0) = lim = lim h =0 h!0 h!0 @x h h 2 0 senk 0 @f f (0; k) f (0; 0) k2 (0; 0) = lim = lim =0 h!0 h!0@y k k h2 senk 2 p Luego, df = 0; entonces L = lim 2 + k 2 ) h2 + k 2 (h;k)!(0;;0) (h h2 senk 2 h2 k 2 (h2 + k 2 )(h2 + k 2 ) p 2 g (x; y) = = (h + k 2 ) < 3=2 3=2 3=2 (h2 + k 2 ) (h2 + k 2 ) (h2 + k 2 )

Si = " . Así L = 0 y f es diferenciable en P0 = (0; 0) : De lo anterior se deduce que f es es continua en (0; 0) ya que es diferenciable en dicho punto.

1.2
1.2.1

Regla de la cadenaProblema

Sea la ecuación zxx + 2zxy + zy = 0 , donde u+v u v u2 v 2 ; y(u; v) = ; z(u; v) = w (u; v) 2 2 4 Muestre que al cambiar las variables independientes (x; y) por (u; v) y la función z por w la ecuación se reduce a 2 4w uu = 0: Solución En primer lugar, calculamos la aplicación inversa x(u; v) = u(x; y) = x + y; v (x; y) = x y:

Derivando parcialmente estas últimas expresiones se tiene:ux = 1; uy = 1; vx = 1; vy = 1 Usando estos resultados y la regla de la cadena, obtenemos zx = zu ux + zv vx = zu + zv zy = zu uy + zv vy = zu zv Reiterando la derivacion parcial usando la regla de la cadena por segunda vez zxx = (zx )u ux + (zx )v vx = z uu + zvu + zuv + zvv zxy = (zx )u uy + (zx )v vy = z uu + zvu (zuv + zvv ) 2

zyy = (zx )u uy + (zv )v vy = z uu zvu (zuv zvv ) Suponiendoque z es una función continua con primeras derivadas parciales continuas, entonces zxx + 2zxy + zy = 4z uu = 0 2u 1 Finalmente, zu = wu =) z uu = w uu 4 2 1 Por tanto: w uu = 0 2 1.2.2 Problema

Una función z = z (x; y) se dice que es armónica si tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y además zxx + zyy = 0: y x ; v= 2 : Pruebe que: Sean u = 2 2 x +y x + y2 i) u y v son armónicas 2 2ii) (ux ) = (vy ) 2 2 iii) (uy ) = (vx ) iv) ux vx = uy vy y x b) Si f (x; y) es una función armónica, entonces la función w (x; y) = f ; x2 + y 2 x2 + y 2 es también armónica Solución y 2 x2 2xy x =) ux = 2 ; uy = i) u = 2 x + y2 (x + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 y 2xy x2 y 2 v= 2 =) vx = ; vy = 2 x + y2 (x2 + y 2 )2 (x + y 2 )2 Derivando parcialmente por segunda vez se tiene 2x3 6xy 2 (y 2 x2 )2(x2 +...