Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva de por la forma que presentan:

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2




IDENTIDADES DE LEGENDRE


I1 : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)I2 : (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab




2. DIFERENCIA DE CUADRADOS




(a + b) (a – b) = a2 – b2




Multiplicando miembro a miembro las identidades I1 e I2:




(a + b)4 – (a - b)4 = 8ab (a2 + b2)




3. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO




(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)4. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO




(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3












IDENTIDADES DE CAUCHY


(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
(a –b)3 = a3 – b3 – 3ab(a –b)




RELACIONES PARTICULARES




(a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3– (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)





5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS




(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 – ab + b2) = a3 - b3






6. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO
Según Cauchy, se puede escribir así:




(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c) +3ca(c+a)+6abc




Otras formas más usuales del desarrollo:




(a +b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(c+a)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) –3abc
(a + b + c)3 = 3(a + b + c) (a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) +6abc



7. IDENTIDAD TRINÓMICA DE ARGAND




(x2m + xmyn + y2n)(x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n






Formas particulares más usuales:




(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4Si: m = 1, n = 0:




(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1




IDENTIDADES DE LAGRANGE



(a2 + b2) (x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2


(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2




IDENTIDAD DE EULER



(a2 + b2 + c2 + d2) (x + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (bx – ay + cw –dz)2+
(cx – az + bw –dy)2 + (dx – aw + bz – cy)2







IDENTIDAD DE GAUSS



a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)






➢ Debemos tener en cuenta que:




a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac = [pic] [(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2]


a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac = [pic][(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2]





IDENTIDADESADICIONALES



(a + b + c) (ab + bc + ca) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc


(a + b) (b + c)(c + a) = ab(a + b) + b(b + c) + ca(c + a) + 2abc


(a – b) (b – c) (c – a) = ab(b – a) + bc(c – b) + ca(a –c)










IDENTIDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0; se verifican las siguientes relaciones notables:



• a2 + b2 + c2 = -2(ab+ bc + ca)


• a3 + b3 + c3 = 3abc


• a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = [pic] (a2 + b2 + c2)2


• a5 + n5 + c5 = - 5abc (ab + bc + ca)


• a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 – 2(ab + bc + ca)3



También debemos considerar:


• [pic]


• [pic]


• a8 + b8 + c8 = 2[pic]


• a9 + b9 + c9 = 3[pic]



En general, si: a + b + c = 0;n ( Z+ n


an+ 3 + bn + 3 + cn+ 3 = abc (an + bn + cn) + [pic](a2 + b2 + c2) (an+1 + bn+1 + cn + 1)
















1. Evaluar:
[pic]


a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2




2. Calcular:
[pic]


a) –2 b) –1 c) 2
d) 1 e) 0








3. Si: x = 2 + [pic]
Calcular:
[pic]
a) 1 b) 3 c) 6
d) 12 e) N.A.








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