productos notables

Páginas: 6 (1357 palabras) Publicado: 21 de septiembre de 2014
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados,y recíprocamente.
Factor común[editar]

Visualización de la regla de factor común. Forma un gnomon.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c (a + b) \,, es decir, el producto de la base a+b\, por la altura c\,, ytambién puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca\, y cb\,

Ejemplo:

3 (4 + 6) = 12 + 18 \,
Cuadrado de un binomio[editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,[Expandir]Demostración
La expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
[Expandir]Demostración
Ejemplo:

(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \,
Simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
Producto de binomios con término común[editar]
Dosbinomios con un término común[editar]

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

(x+a)(x+b) = x^2+( a + b )x + a b \,
[Expandir]Demostración
Ejemplo:

(x+4)(x-7) = x^2 -3x -28 \,
(2y-1)(2y-3) = (2y)^2+(-1-3)(2y)+ ((-1)(-3)) = 4y^2 -8 y +3
Tres binomios con término común[editar]
Fórmula general:

(x + a) (x +b) (x + c) = x^3 + (a + b + c) x^2 + (ab+ca+cb)x +abc
Binomios con término común[editar]
Fórmula general:

(x+a_1)\cdot \dots \cdot (x+a_n)= x^n + (a_1+\dots +a_n) x^{n-1}+( (a_1 a_2 + a_1 a_3+\dots a_1 a_n)+(a_2 a_3 +\dots +a_2 a_n)+\dots +(a_{n-1} a_n))x^{n-2}+\dots (a_1\cdot \dots \cdota_n)
xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos)

Producto de dos binomios conjugados[editar]
Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevarlos monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y) = \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
Agrupando términos:

(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

En elcaso (p-a+b+c) = (p-a-b-c) = (p-a)^2 -(b+c)^2 ,1 aparecen polinomios.
Cuadrado de un polinomio[editar]

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)\,
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,
Ejemplo:

(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,
Multiplicando los monomios:

(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,
Agrupando términos:

(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,...
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