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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Diferenciales

Cuando dimos la definición de derivada de una función en un punto x, indicamos distintas notaciones, por ej:

f´(x), → esta expresión suele leerse” derivada de y respecto de x”. Esta forma de escribir la podemos justificar si se define previamente diferencial de una función.

Recordemos la definición de derivada de la función en el punto xSi hacemos la siguiente diferencia:

= r () y r es un infinitésimo en cero. Recordemos que:







Si multiplicamos la expresión por , nos queda:



Es decir, las expresiones son aproximadamente iguales para valores muy pequeños de .

El número es incremento de la función, correspondiente a un incremento de la función correspondiente a un incremento .



La expresiónse llama diferencial de f en el punto x respecto de y se designa:

dy= →La cantidad se denota mediante dx, y recibe el nombre de diferencial x.

O sea que podemos escribir: →depende de dos variables: x y

Veamos geométricamente la interpretación de los números considerados:
m= tan=

yf

r ()

dy

f’(x). f (x +)
f(x)
f (x)

x
x x+Observemos que cuanto menor es el número , más próximas son las longitudes y dy. O sea la resta dy- tiende a cero si tiende a cero.
Entonces si reemplazamos dy por , gráficamente estamos reemplazando el grafico de f entre x y x+ por la recta tangente en el punto (x, f(x)). O sea se puede aproximar el valor de f(x+ ) conociendo el valor de f(x) y el diferencial de f en x respecto de .

DefiniciónSe y = f(x) una función que es derivable en un intervalo abierto que contiene a x, la diferencial de x (dx) es cualquier número real distinto de cero. La diferencial de y (dy) es: dy = f’(x).dx.

dy= f’(x).dx→ como , . Es decir, la derivada en un punto x puede hallarse como el cociente de los diferenciales indicados.


Como la derivada de una función solo difiere del diferencial en el factordx, todas las fórmulas para derivación son válidas para diferenciales.

Por ejemplo:
a) y= senx→dy= cos x dx

b) , podemos diferenciar la expresión teniendo en cuenta la definición de diferencial respecto del incremento dx.

6x2.dx+dx.y+x.dy-(dy.x3+y.3x2dx)=0→6x2.dx+dx.y+x.dy-dy.x3 -y.3x2dx = 0

6x2.dx+dx.y -y.3x2dx=-x.dy+dy.x3 →dx. (6x2+y-3yx2)= dy. (-x+x3 )→

coincide con laderivada de una función implícita.
En muchas aplicaciones, la diferencial de y puede utilizarse como una aproximación del cambio de y. Esto es:



Geométricamente el dy lo podemos interpretar como la variación de la función con respecto a la recta tangente a la curva en el punto c.

Ejemplo

Sea x2, determinar dy cuando x= 1 y dx=0.01



Como f(x)= x2, se tiene f’(x)= 2x, y ladiferencial dy está dada por:

dy= f’(x).dx= 2.1. 0,001= 0.02 diferencial de y o sea el incremento de la variable y medido desde la recta tangente a la curva en 1.

Ahora, utilizando = 0.01, el cambio en y es:


La recta tangente a la curva es: = 2(x-1)+1= 2x-1

Comparación geométrica entre dy y .










y = 2x-1






0.0201=
dy=0.021 1,01
Para valores de x cercanos a 1, la recta tangente es cercana a la grafica de f.

Por ejemplo:
f(1,01)= 1.012= 1,0201 y= 2. 1,01-1=1.02

Ejercicios:
Calcular aproximadamente por aproximación lineal.

Consideramos la función y= y un punto cercano a 26 y en el cual conocemos el valor de la...