Proporcio N Aurea

Proporción Aurea

La primera referencia a la proporción áurea que se conoce la hace Euclides. En su obra los Elementos se refiere a la división de un segmento en lo que él denomina su media y su extrema razón del siguiente modo:
"Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor"
El valor de esta razón seconoce también como número de oro y suele representarse con la letra griega Φ (se lee Fi), en honor al escultor griego Fidias, que lo tuvo presente en sus obras.
 
Seguramente Euclides jamás pudo imaginar que esa división de un segmento, que definía únicamente para propósitos geométricos, llegaría a alcanzar tanta relevancia en la historia de la humanidad. Tal era la atracción que ejercía queLuca Pacioli, matemático italiano del siglo XV, la denominó divina proporción.
 
Podemos encontrarla en múltiples situaciones, que van de las artes a las ciencias, apareciendo como canon de belleza o ligada al crecimiento de especies vegetales o animales o, incluso, en la estructura de las galaxias. Esta proporción ha fascinado no solamente a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia, sinotambién a biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos.
La Proporción Aurea como un valor límite

Dados dos elementos iniciales positivos a0 y a1, calculamos el elemento general an como la suma de los dos elements precedentes:
an+1=an+an-1
Como consecuencia, la razón de dos elementos consecutivos de la sucesión qn=an/an-1 también sigue una sucesión:an+1an=1+an-1an⇒qn+1=1+1qn
Si las razones consecutivas qn tienden a un valor límite Q, este tiene que satisfacer la ecuación
Q=1+1Q
Ello nos lleva a la conocida ecuación de segundo grado cuya solución positiva es φ:
Q2=Q+1⇒Q>0Q=φ=5+12
Lo que este resultado nos indica es que la razón entre dos valores consecutivos de cualquier sucesión de este tipo siempre se aproxima a φ. Notad que la ProporciónAurea está conectada con la forma como se construye la sucesión, pero no con ningún ejemplo particular de esa construcción. Podríamos proponer un número infinito de sucesiones de ese tipo dependiendo de los valores iniciales a0 and a1. Por ejemplo, cuando a0=2 y a1=1 obtenemos la Sucesión de Lucas:



Sucesión de Lucas:2,1,3,4,7,11,18,29,…
n
L(n)
qn = L(n)/L(n-1)
1
2
---
2
1
1/2 = 0.500
3
3
3/1 = 3.0004
4
4/3 = 1.333
5
7
7/4 = 1.750
6
11
11/7 = 1.571
7
18
18/11 = 1.636
8
29
29/18 = 1.611
9
47
47/29 = 1.620
10
76
76/47 = 1.617
Tabla 1: El cociente de elementos consecutivos de la sucesión de Lucas converge a la Proporción Aurea.

Pero hay una sucesión muy especial que está íntimamente relacionada con la Proporción Aurea, y esta es la Sucesión de Fibonacci(a0=1, a1=1):
Sucesión deFibonacci:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
n
F(n)
qn = F(n)/F(n-1)
1
1
---
2
1
1/1 = 1.000
3
2
1/2 = 0.0500
4
3
3/2 = 1.500
5
5
5/3 = 1.666
6
8
8/5 = 1.600
7
13
13/8 = 1.625
8
21
21/13 = 1.615
9
34
34/21 = 1.619
10
55
55/34 = 1.617
Tabla 2: El cociente de elementos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
¿Y por qué es tan especial la sucesión de Fibonacci? Bien, al menos por el hecho de que, como Drunvalo Melchizedekapunta en su primer libro "El antiguo secreto de la Flor de la Vida", la Naturaleza utiliza esta propiedad para construir sucesiones de longitudes que convergen a la Proporción Aurea, como son las distancias entre ramas sucesivas de un árbol, o las hojas sucesivas en una rama, o las dimensiones de nuestro propio cuerpo:
La sucesión de Fibonacci tiene muchas más propiedades interesantes y está másinvolucrada en nuestra percepción de la realidad de lo que sospechamos. Estamos preparando un artículo sobre este punto que estará disponible pronto en la sección correspondiente de este sitio.
Antes de seguir adelante, deberíamos apuntar algunas propiedades matemáticas que se desprenden del hecho que φ satisface la ecuación de segundo grado φ2 = φ + 1:
Indice
Potencia
Inverso
1
φ
1/φ = φ - 1
2...