Proyecto
Páginas: 5 (1142 palabras)
Publicado: 2 de febrero de 2016
Universidad San Francisco de Quito
Cálculo I (MAT 0131)
Proyecto de Cálculo I
I Semestre 2015-2016
Estudiantes: Luis Puertas (00134628)
Profesor: Felipe Vaca Ramírez
NRC: 4088
Editor de texto científico: LyX
Fecha de culminación:
Llamamos aproximación cuadrática de una función f(x) de clase 2 a:
f(x) ≈ f(a) + f’(a) (a – 1) + ½ f’’(a) (a – 1)2
Se debe resolver este procedimiento paraencontrar la ecuación cuadrática que se aproxima a la función f(x). Conocemos que f(a) = √a + 3, entonces sólo quedaría reemplazar el valor a = 1 para encontrar ese resultado. Pero es necesario también buscar la primera y segunda derivada de la función, puesto que es cuadrática.
f(x) = √x + 3
f’(x) = 1 / 2 √x + 3
f’’(x) = – 1 / 4 (x + 3)3/2
Luego reemplazamos el número 1 en lugar de la x, pues es elvalor en el que vamos a evaluar la función.
f(1) = √1 + 3 = √4 = 2
f’(1) = 1 / 2(√1 + 3) = 1 / 2(√4) = 1 / 2(2) = 1/4
f’’(1) = – 1 / 4(1 + 3)3/2 = – 1 / 4(4)3/2 = – 1 / 4(8) = – 1/32
Después resolvemos la ley enunciada previamente de acuerdo a los resultados obtenidos de f(1), f’(1) y f’’(1).
f(x) ≈ f(1) + f’(1) (x – 1) + ½ f’’(1) (x – 1)2
f(x) ≈ 2 + ((1/4) · (x – 1)) + (½ · (– 1/32) (x – 1)2)f(x) ≈ 2 + (1/4 x – 1/4) + (– 1/64) (x – 1)2
f(x) ≈ 2 + (1/4 x – 1/4) + (– 1/64) (x2 – 2x + 1)
f(x) ≈ (7/4) + (1/4 x) + (–1/64 x2) – (1/32 x) + (1/64)
f(x) ≈ – 1/64 x2 + 7/32 x + 113/64
Luego, se grafican ambas ecuaciones y se observa que, en un entorno del punto x = 1 ambas gráficas se confunden y se combinan entre sí.
Ahora se procederá a trazar las gráficas de f, de la aproximaciónlineal y cuadrática del ejemplo 2 de la sección 3.10.
Las gráficas de las aproximaciones lineales son exactas con una diferencia menor que 0.5 y 0.1.
En 0.5:
En 0.1:
Las gráficas de las aproximaciones cuadráticas son exactas con una diferencia menor que 0.5 y 0.1.
En 0.5:
En 0.1:
Conclusión
Se puede concluir que a medida que el número exponencialde las aproximaciones se hace más grande, la aproximación es cada vez más precisa, pudiendo llegar a valores que son casi iguales a x = a.
Tomemos como ejemplo la ecuación del literal anterior: f(x) = √x + 3 ; a = 1
Como se concluyó anteriormente, a medida que la aproximación se incrementa de manera exponencial, ésta será más precisa y con un rango menor de error. Siguiendo esteprincipio, se tratará de conseguir la aproximación más exacta para f(x) = √x + 3, y de esta manera conseguir el resultado con mayor precisión. La aproximación se realizará con un exponencial de grado n = 5.
Tn (x) = f(a) + f’(a)(x – a) + 1/2 f’’(a)(x – a)2 + 1/3 f(3)(a)(x – a)3 + 1/4 f(4)(a)(x – a)4 + 1/5 f(5)(a)(x – a)5
Se comienza encontrando cada derivada de f(x) = √x + 3
f(x) = √x + 3
f’(x) = 1 /2 √x + 3
f’’(x) = – 1 / 4 (x + 3)3/2
f(3) = 3 / 8 (x + 3)5/2
f(4) = – 15 / 16 (x + 3)7/2
f(5) = 105 / 32 (x + 3)9/2
Después reemplazamos las derivadas en la fórmula de arriba.
Tn (x) = f(1) + f’(1)(x – 1) + 1/2 f’’(1)(x – 1)2 + 1/3 f(3)(1)(x – 1)3 + 1/4 f(4)(1)(x – 1)4 + 1/5 f(5)(1)(x – 1)5
Tn (x) = [(√1 + 3)] + [(1 / 2 √1 + 3) (x – 1)] + [(1/2) (– 1 / 4 (1 + 3)3/2) (x2 – 2x + 1)] + [(1/3) (3 /8 (1 + 3)5/2) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(1/4) (– 15 / 16 (1 + 3)7/2) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(1/5) (105 / 32 (1 + 3)9/2) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4) (x – 1)] + [(1/2) (– 1/32) (x2 – 2x + 1)] + [(1/3) (3/256) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(1/4) (– 15/2048) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(1/5) (105/16384) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4x) –(1/4)] + [(– 1/64) (x2 – 2x + 1)] + [(1/256) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(– 15/8192) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(105/81920) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4x) – (1/4)] + [(– 1/64x2) + (1/32x) – (1/64)] + [(1/256x3) – (3/256x2) – (3/256x) + (1/256)] + [(– 15/8192x4) + (60/8192x3) + (90/8192x2) + (60/8192x) – (15/8192)] + [(105/81920x5) – (525/81920x4) – (1050/81920x3) –...
Cálculo I (MAT 0131)
Proyecto de Cálculo I
I Semestre 2015-2016
Estudiantes: Luis Puertas (00134628)
Profesor: Felipe Vaca Ramírez
NRC: 4088
Editor de texto científico: LyX
Fecha de culminación:
Llamamos aproximación cuadrática de una función f(x) de clase 2 a:
f(x) ≈ f(a) + f’(a) (a – 1) + ½ f’’(a) (a – 1)2
Se debe resolver este procedimiento paraencontrar la ecuación cuadrática que se aproxima a la función f(x). Conocemos que f(a) = √a + 3, entonces sólo quedaría reemplazar el valor a = 1 para encontrar ese resultado. Pero es necesario también buscar la primera y segunda derivada de la función, puesto que es cuadrática.
f(x) = √x + 3
f’(x) = 1 / 2 √x + 3
f’’(x) = – 1 / 4 (x + 3)3/2
Luego reemplazamos el número 1 en lugar de la x, pues es elvalor en el que vamos a evaluar la función.
f(1) = √1 + 3 = √4 = 2
f’(1) = 1 / 2(√1 + 3) = 1 / 2(√4) = 1 / 2(2) = 1/4
f’’(1) = – 1 / 4(1 + 3)3/2 = – 1 / 4(4)3/2 = – 1 / 4(8) = – 1/32
Después resolvemos la ley enunciada previamente de acuerdo a los resultados obtenidos de f(1), f’(1) y f’’(1).
f(x) ≈ f(1) + f’(1) (x – 1) + ½ f’’(1) (x – 1)2
f(x) ≈ 2 + ((1/4) · (x – 1)) + (½ · (– 1/32) (x – 1)2)f(x) ≈ 2 + (1/4 x – 1/4) + (– 1/64) (x – 1)2
f(x) ≈ 2 + (1/4 x – 1/4) + (– 1/64) (x2 – 2x + 1)
f(x) ≈ (7/4) + (1/4 x) + (–1/64 x2) – (1/32 x) + (1/64)
f(x) ≈ – 1/64 x2 + 7/32 x + 113/64
Luego, se grafican ambas ecuaciones y se observa que, en un entorno del punto x = 1 ambas gráficas se confunden y se combinan entre sí.
Ahora se procederá a trazar las gráficas de f, de la aproximaciónlineal y cuadrática del ejemplo 2 de la sección 3.10.
Las gráficas de las aproximaciones lineales son exactas con una diferencia menor que 0.5 y 0.1.
En 0.5:
En 0.1:
Las gráficas de las aproximaciones cuadráticas son exactas con una diferencia menor que 0.5 y 0.1.
En 0.5:
En 0.1:
Conclusión
Se puede concluir que a medida que el número exponencialde las aproximaciones se hace más grande, la aproximación es cada vez más precisa, pudiendo llegar a valores que son casi iguales a x = a.
Tomemos como ejemplo la ecuación del literal anterior: f(x) = √x + 3 ; a = 1
Como se concluyó anteriormente, a medida que la aproximación se incrementa de manera exponencial, ésta será más precisa y con un rango menor de error. Siguiendo esteprincipio, se tratará de conseguir la aproximación más exacta para f(x) = √x + 3, y de esta manera conseguir el resultado con mayor precisión. La aproximación se realizará con un exponencial de grado n = 5.
Tn (x) = f(a) + f’(a)(x – a) + 1/2 f’’(a)(x – a)2 + 1/3 f(3)(a)(x – a)3 + 1/4 f(4)(a)(x – a)4 + 1/5 f(5)(a)(x – a)5
Se comienza encontrando cada derivada de f(x) = √x + 3
f(x) = √x + 3
f’(x) = 1 /2 √x + 3
f’’(x) = – 1 / 4 (x + 3)3/2
f(3) = 3 / 8 (x + 3)5/2
f(4) = – 15 / 16 (x + 3)7/2
f(5) = 105 / 32 (x + 3)9/2
Después reemplazamos las derivadas en la fórmula de arriba.
Tn (x) = f(1) + f’(1)(x – 1) + 1/2 f’’(1)(x – 1)2 + 1/3 f(3)(1)(x – 1)3 + 1/4 f(4)(1)(x – 1)4 + 1/5 f(5)(1)(x – 1)5
Tn (x) = [(√1 + 3)] + [(1 / 2 √1 + 3) (x – 1)] + [(1/2) (– 1 / 4 (1 + 3)3/2) (x2 – 2x + 1)] + [(1/3) (3 /8 (1 + 3)5/2) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(1/4) (– 15 / 16 (1 + 3)7/2) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(1/5) (105 / 32 (1 + 3)9/2) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4) (x – 1)] + [(1/2) (– 1/32) (x2 – 2x + 1)] + [(1/3) (3/256) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(1/4) (– 15/2048) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(1/5) (105/16384) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4x) –(1/4)] + [(– 1/64) (x2 – 2x + 1)] + [(1/256) (x3 – 3x2 – 3x + 1)] + [(– 15/8192) (x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 1)] + [(105/81920) (x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x + 1)]
Tn (x) = [(2)] + [(1/4x) – (1/4)] + [(– 1/64x2) + (1/32x) – (1/64)] + [(1/256x3) – (3/256x2) – (3/256x) + (1/256)] + [(– 15/8192x4) + (60/8192x3) + (90/8192x2) + (60/8192x) – (15/8192)] + [(105/81920x5) – (525/81920x4) – (1050/81920x3) –...
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