Prueba calculo I

Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencia, Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Asignatura C´lculo I, M´dulo B´sico Ingenier´ Primer Semestre 2012
a
o
a
ıa,

PEP Acumulativa
Problema 1.

(20 pts.)

{

(1.1) ¿Para qu´ valores de a y b la funci´n g(x) =
e
o
x ∈ R?

ax + b
si x ≤ −1
+ x + 2b si x > −1

ax3

es derivable para todo

(1.2) Determine la ecuaci´n dela recta normal a la curva de ecuaci´n x3 y 3 + y 2 = x + y, en el punto (1, −1).
o
o
Problema 2. (20 pts.)
(2.1) El abrevadero de la figura se debe construir con las dimensiones que se indican en la figura. S´lo se
o
puede variar el ´ngulo θ. ¿Qu´ valor de θ maximizar´ el volumen del abrevadero?
a
e
a

(2.2) Una luz brilla desde el extremo superior de un poste de 15 [m] de altura. Selanza una pelota a la
misma altura desde un punto ubicado a 10 [m] de distancia de la luz (v´ase la figura). ¿Qu´ tan r´pido
e
e
a
1
se mueve la sombra de la pelota a lo largo del suelo 2 segundo despu´s? (Suponga que la pelota cae
e
2 [m] en t segundos).
una distancia s = 16t

Problema 3.

(20 pts.)

√
d2 s(t)
3
= 15 t − √ ,
2
dt
t
sujeta a las condiciones s′ (1) = 4 y s(1) =0. Determine la posici´n s(t) en t´rminos de t.
o
e

(3.1) Una part´
ıcula se desplaza sobre una recta coordenada con aceleraci´n a(t) =
o

(3.2) Sea f (x) la funci´n que satisface la relaci´n
o
o

df (x)
= sen(ln x), con f (eπ ) = eπ . Calcule f (e2π ).
dx

PAUTA PRUEBA ACUMULATIVA
Problema 1.

(20 pts.)

{

(1.1) ¿Para qu´ valores de a y b la funci´n g(x) =
e
o

ax + bsi x ≤ −1
+ x + 2b si x > −1

ax3

x ∈ R?

es derivable para todo

En primer lugar analicemos la diferenciabilidad de la funci´n en los distintos tramos y luego el caso
o
particular de x = −1.
• La funci´n es derivable en todo punto x0 ∈ ] − ∞, −1[. En efecto,
o

f ′ (x0 ) = l´
ım

x→x0

a(x − x0 )
(ax + b) − (ax0 + b)
= l´
ım
= l´ a = a,
ım
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0∀ x0 ∈ ] − ∞, −1[.

• La funci´n es derivable en todo punto x0 ∈ ] − 1, +∞[. En efecto,
o
(ax3 + x + 2b) − (ax3 + x0 + 2b)
0
x→x0
x − x0
a(x3 − x3 ) + (x − x0 )
0
= l´
ım
x→x0
x − x0
= 3ax2 + 1, ∀ x0 ∈ ] − 1, +∞[.
0

f ′ (x0 ) =

l´
ım

• En virtud de los casos anteriores, tenemos que:
′
f− (−1) = l´
ım

x→−1−

′
f+ (−1) = l´
ım

x→−1+

(ax + b) − (−a + b)
=ax − (−1)

(ax3 + x + 2b) − (−a − 1 + 2b)
= 3a + 1
x − (−1)

Luego f ser´ derivable en todos los reales si se verifica que a = 3a + 1, es decir, si a = - 0, 5.
a
Adem´s, para que f sea derivable, f debe ser continua.
a
La continuidad de f en x = −1 se verifica si
−a + b, de donde b = 1.

l´ x→−1+ ax3 + x + 2b = f (−1). As´ −a − 1 + 2b =
ım
ı,

(1.2) Determine la ecuaci´n de la rectanormal a la curva de ecuaci´n x3 y 3 + y 2 = x + y en el punto
o
o
(1, −1).
La funci´n impl´
o
ıcita escrita en la forma F (x, y, c) = 0 es x3 y 3 + y 2 − x − y = 0. Derivando
impl´
ıcitamente la funci´n respecto de x tenemos:
o
d 3 3
(x y + y 2 − x − y) = 0 ⇐⇒ 3x2 y 3 + x3 · 3y 2 y ′ + 2yy ′ − 1 − y ′ = 0
dx
⇐⇒ 3x2 y 3 − 1 + y ′ (3x3 y 2 + 2y − 1) = 0
1 − 3x2 y 3
⇐⇒ y ′ = 3 2
3x y+ 2y − 1
As´ en (1, −1) la pendiente de la recta tangente es indeterminada, por lo cu´l la curva no tiene
ı,
a
recta normal en el punto (1 − 1).

Problema 2. (20 pts.)
(2.1) El abrevadero de la figura se debe construir con las dimensiones que se indican en la figura. S´lo se
o
puede variar el ´ngulo θ. ¿Qu´ valor de θ maximizar´ el volumen del abrevadero?
a
e
a

Para maximizar elvolumen, basta con optimizar el ´rea de la secci´n transversal, ´rea que corresponde
a
o
a
a la de un trapecio de bases a = 1 , b = 1 + 2 sen θ y altura h = cos θ, dicha ´rea se obtiene con la
a
1
1
formula A = (a + b)h. Luego la funci´n a optimizar es A(θ) = (2 + 2 sen θ) cos θ, o equivalentemente
o
2
2
A(θ) = (1 + sen θ) cos θ.
A′ (θ) = cos2 θ−(1+sen θ) sen θ = 1−sen2 θ−sen θ−sen2 θ...