Química

Hoja 1 1 La ecuaci´n de estado de un gas ideal viene dada por la expresi´n o o pV = nRT donde p es la presi´n, V el volumen, n es el n´mero de moles del gas, R es una constante fija o u (R = 8, 31451) y T es la temperatura. a) Para unos valores determinados de p y n, (p = p0 , n = n0 ), representar gr´ficamente el a volumen (en ordenadas) como funci´n de la temperatura (en abcisas) y hallar laexpresi´n de o o dV . dT b) Para unos valores determinados de T y n, (T = T0 , n = n0 ), representar gr´ficamente el a volumen (en ordenadas) como funci´n de la presi´n (en abcisas) y hallar la expresi´n de dV . o o o dp 2 Hallar la primera derivada de las siguientes funciones: x2 + 7x − 3 b)f (y) = (y 3 − 7)3 2 at + b d)V (x) = x−n , n ∈ N e)V (t) = ct + d √ √ √ g)y(x) = 1 + 1 + x h)T (r) = (r + 1)e−ra)f (x) = − j)M (x) = xx
1

2 z3 2 αu + βu + γ f )V (u) = 2 u /a + u/b + 1/c c)f (z) = − i)H(s) = s2 sen5 s + s cos s
1

k)K(α) = (eα + α) α l)J(x) = (x4 + 1) ln(x)

3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones en el punto indicado: a)f (x) = mx2 + mx + 1 2z 3 + 1 , x = m2 b)f (z) = , z = −1 4 m αz 2 +1 c)V (t) = (t − 1)2 et + log(t), t = 2 d)H(u) = 2 + βu3 − β 6 , u = αβ. u ( 2 ()) ) d4 ( 1 d d 3 a) 4 (1 − 2x) b) z 2 dx dz dz 1+z ) ( ( ) d d d ( −u ) 2 2 2 2 d d) c) (y + a ) (y − a ) u ue . dy dy du du 5 Hallar la derivada
dy dx

4 Calcular las derivadas que se indican:

derivando impl´ ıcitamente las expresiones

b) sen(y) cos(x) + ln(x) = 7y, (x > 0) 1 1/2 3 4 c)x3 + sen(y) − y 2 + 4 = 0 d)y 2 ex + y 3 ex = (x2 + ) y+1

a)x2 + y 2 = 9

6 Para cada uno delos apartados del problema anterior, calcular dy impl´ ıcitamente y comprobar que se obtiene dx · dx = 1. dy

dx dy

derivando de nuevo

7 La ecuacion de estado de un gas imperfecto viene dada por la expresion (p + n2 a )(V − nb) − nRT = 0 V2

donde p, V, n, R y T representan las mismas cantidades f´ ısicas que en el ejercicio 1 y a, b son dos constantes que dependen del gas y miden la ´ımperfeccion’ del gas. a) Comprobar que si a = b = 0, entonces el gas es ideal y se recupera la ecuacion de estado de un gas ideal. b) Comprobar que la ecuacion de estado se puede escribir tambi´n como e V 3 − n(b + RT 2 n2 a n3 ab )V + V − =0 p p p
dV dp

c) Considerando la presion p y el n´mero de moles n constantes, calcular dV u dT d) Considerando la temperatura T y el n´mero de moles nconstantes, calcular u dp comprobar que dV · dV = 1. dp e) Vamos a suponer que tenemos n = 1, de forma que la ecuacion de estado queda (p + Calcular, ( ∂p )
∂V

y

dp dV

y

, T

( ∂V )
∂T p

( y

∂T ∂p

)
V

a )(V − b) − RT = 0 V2

y comprobar que se obtiene la relacion ) ·
T

(

∂p ∂V

(

∂V ∂T

) ·
p

(

∂T ∂p

) = −1
V

ex − e−x ex + e−x 8 Las funcionessenh x = y cosh x = , se llaman seno hiperb´lico y coseno o 2 2 hiperb´lico, respectivamente: o o 1. Probar las siguientes identidades hiperb´licas cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 senh(x ± y) = senh(x) cosh(y) ± cosh(x) senh(y) cosh(x ± y) = cosh(x) cosh(y) ± senh(x) senh(y). o o 2. Calcula la derivada de las funciones senh(x), cosh(x) y de la funci´n tangente hiperb´lica: senh(x) tanh(x) = cosh(x) . 3.Hacer un esbozo de las gr´ficas de senh(x) y cosh(x). Comprobar que senh(x) = − senh(−x) a y cosh(x) = cosh(−x).

Departamento de Matem´tica Aplicada a ´ MATEMATICAS. Grado en CC. Qu´ ımicas(Curso 2012-13) Hoja 2 ıticos (basta con las abscisas) de las siguientes funciones y usar el criterio 1 Hallar los puntos cr´ de la segunda derivada para decidir, cuando sea posible, si en ellos hay un m´ximolocal, un a m´ ınimo local o un punto de inflexi´n: o a)f (x) = 2x3 + 3x2 b)f (z) = 2z 3 − 3z 2 − 12z + 1 c)V (y) = 3y 4 + y 3 d)V (α) = αe−α e)W (p) = sen(p) f )T (h) = h sen(h) + cos(h) z g)K(r) = r cos(r) − sen(r) h)g(z) = 2 z +1 ınimo y el valor m´ximo de la funci´n dada en el intervalo que se indica y a o 2 Hallar el valor m´ hacer un esbozo de las gr´ficas correspondientes: a t a)f (x) = x2...