Quia Sobre Algebra

1er. Semestre 2012

Control N°4 Cálculo 1

1) a) Demostrar que la función y = x [cos(ln x) + sen(ln x)] satisface la ecuación
5

x 2 y′′ − 9 x y ′ + 26 y = 0
b) Si y =

1 t , x= 2 encuentrey′′ . t −1 t −1

2) Si Arctg   + ln( x 2 + y 2 ) = 0 , demostrar que y′ =  y x− y  

x

x+ y

3) a) Un balón esférico pierde aire a razón constante de 2 cm / seg ¿Con qué rapidezdecrece el radio del balón cuando su diámetro es de 1 m?

3

b) Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm / seg , mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que lafigura permanece constante como rectángulo de área 50 cm2 i) ¿Cuál es la velocidad de cambio del perímetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5cm. ii) ¿Cuáles son las dimensiones cuando elperímetro deja de crecer?

4) Si f ( x ) =

senx π x  − ln tg  −  y g ( x) = −3 cos x . Pruebe que 2 2 cos x  4 2

f ′( x) + 1/ cos3 x = 2 cos x f ′′( x) / g ′( x)

5) Calcule a) lím (π− 2arctgx ) ln x
x →∞

1 b) lím+   x→0  x 

tgx

1

c) lím+ x
x→0

ln ( e x −1)

6) a) Determine las constantes a y b de manera que lím ( x −3 sen3 x + x −2 a + b) = 0
x→0

b)Calcular lím+
x→0

 1  1   x + 1 ln(1 + x) − 1 x   

7) Determine los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

x2 + x + 1 a) f ( x) = x

b) f ( x) = x x , x > 0

c) f (x) = 2 cos x − x en [0,2π ]

8) Demuestre que las funciones tienen la misma derivada.

1+ x   a+x  f ( x) = ln  y g ( x) = f   con a ∈ IR 1− x   1 + ax 

9) a) Determine en quépuntos la recta y = −11 x + 13 es tangente a la curva

y = x3 − 7 x 2 + 5 x + 1
b) Sea y = f (x ) una función definida implícitamente por la ecuación x 2 + xy + y 2 = 3 . Determine la ecuación de larecta tangente a la curva en y = 1 , x en el primer cuadrante.

10) Dada la función f ( x ) = 2 x3 + 3x 2 − 12 x + 4 a) Obtenga puntos máximos, mínimos e inflexión si existen b) Determine intervalos...