raiz cudrada

Factorización de Expresiones de Cuadráticas.



Objetivos



Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:
•Factorizar expresiones cuadráticas de la forma x2 + bx + c.•Factorizar expresiones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c.•Reconocer casos especiales que se pueden factorizar a simple vista en este tipo de factores: ◦(ax + b)(ax - b)◦(ax + b)2◦(ax - b)2Introducción.

Si observamos la expresión cuadrática x2+5⁢ x+6 se puede ver fácilmente que no hay un factor común a los tres términos. Sin embargo, en la lección sobre Multiplicación de Expresiones Binomiales usamos la geometría del producto de los lados de un rectángulo para mostrar que x+2x+ 3=x2+5⁢ x+6




Por lo tanto (x + 2)(x + 3) es la factorización de x2 +5⁢x+6 pero las técnicasde factorización son diferentes a las presentadas en la lección sobre Factorización de Expresiones Simples.

Esta lección se centra en los métodos de factorización de expresiones cuadráticas de la forma:


ax2+bx +c

Coeficiente de x2 igual a 1.


En la lección de Multiplicación de Expresiones Binomiales comenzamos con x+a x+b y usamos la geometría del producto de un rectángulocomo el que se muestra en la imagen de arriba para convertirlo en x2+ a+bx+ab.

Ahora queremos comenzar con x2+cx+d y convertirlo en una expresión con dos factores de la forma x+a x+b. No siempre existen números reales a y b para hacerlo pero si existieran sabemos que:
• x2 +cx+d =x+ ax+b y • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab . Así, si encontramos a y b tales que a+b=c y ab=d entonces, lafactorización de x2+cx+d es (x + a)(x + b).

De aquí podemos obtener el siguiente conjunto de pasos para factorizar expresiones de segundo grado con coeficiente de x2 igual a 1.


Ejemplo 1:
Factorizar x2+7⁢x +12


Solución:

Buscamos a y b que satisfagan:• x2 +7x+12 =x+ ax+b y • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab .
Así, a y b deben satisfacer a + b = 7 y ab = 12:



Paso 1: Buscar todos los pares(a, b) tal que ab = 12:
(12,1), (6,2), (4,3), (-12,-1), (-6,-2), (-4,-3)Puesto que: x+ax+b= x+bx+a , a y b son intercambiables y no necesitamos ambos (12,1) y (1,12). Uno de ellos es suficiente.


Paso 2: Determinar si uno de estos pares cumple a + b = 7:
12+1≠7;6+ 2≠7;4+3=7
Así que a= 4, b= 3 cumple a + b = 7 y ab = 12. Por lo tanto:

x2 +7⁢x+12=x+ 4x+3

Paso 3:Verificar x+ 4x+3 =x2+3⁢x+4⁢x +12
x+ 4x+3 =x2+7⁢x+12

Ejemplo 2:
Factorizar x2-4⁢x -21


Solución:
Nota: Para mayor comodidad de nuestro método vamos a reescribir las diferencias como sumas de factores negativos, por lo que el problema se convierte en

x2+-4 ⁢x+-21
Buscamos a y b que satisfagan:• x2 +(-4)x+(-21) =x+ ax+b y • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab .
Así, a y b deben satisfacer a+ b = -4 y ab = -21.



Paso 1: Buscar todos los pares (a, b) tal que ab = -21:
(21,-1), (-21,1), (7,-3), (-7,3)
Paso 2: Determinar si uno de estos pares cumple que
a + b = -4:

21+(−1)≠− 4;−21+1≠−4; 7+(−3)≠− 4;−7+3=−4.
Así que a= -7, b= 3 cumple a + b = -4 y ab = -21.

Por lo tanto:

x2-4⁢x-21 =x+-7 x+3

Paso 3: Verificarx+-7 x+3=x2 +4⁢x+-7⁢x +-21
x+-7 x+3=x2 +-4⁢x+ -21


Práctica 1.

Oprime el enlace a continuación para practicar la factorización de expresiones cuadráticas con coeficientes principales igual a 1.


Coeficiente de x2 diferente de 1.


En la lección de Multiplicación de Expresiones Binomiales comenzamos con ax+b cx+d y usamos la geometría del producto de un rectángulo como el que semuestra en la imagen de arriba para convertirlo en acx2+ ad+cbx+bd.

Ahora queremos comenzar con ex2+fx+g y convertirlo en una expresión con dos factores de la forma ax+b cx+d No siempre existen numeros reales a, b, c y d para hacerlo pero si existieran sabemos que:
• ex2+fx+g = ax+b cx+d • ax+b cx+d = acx2+ ad+cbx+bd. Así, si encontramos a, b, c y d que satisfacen ac = e, ad + cb = f...