Razones y proporciones

Tema 3. Razones y proporciones
∗ Una raz´n es una comparaci´n entre dos cantidades. Ej:
o
o
a) en una bolsa con bolas blancas y negras, la raz´n de
o
bolas blancas a negras es de 2 a 7.
b) en cierto examen, la raz´n entre aprobados y suspensos
o
es de 4 a 3.
∗ Una raz´n puede venir dada en forma de fracci´n, pero no
o
o
hay que confundir los conceptos. Algunas diferenciasfundamentales:
1. Una raz´n puede comparar dos magnitudes heterog´neas
o
e
(con distintas unidades). Ej: consumo 6 litros/100 km.

1

2. Una raz´n puede no ser un n´mero racional.
o
u
Ejemplo: la raz´n entre la longitud de una
o
circunferencia y su radio.
Pedro Ramos, Dpto. de Matem´ticas (UAH). Matem´ticas II. Grado de Educaci´n Primaria. Curso 2013-2014
a
a
o

Proporciones
∗ Unaproporci´n es una igualdad entre dos razones.
o
∗ Ejemplo: en cierto examen la raz´n entre aprobados y
o
suspensos es de 4 a 3. Si suspendieron 81 alumnos,
¿cu´ntos aprobaron?
a
4
x
=
3
81

→

3x = 4 · 81

→

4 · 81
x=
= 108
3

∗ Y s´ ... tambi´n se puede interpretar como la cl´sica “regla
ı
e
a
de tres”:
3 →
81
4

→

x

2
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a
a
o

El peligro de “la regla de 3”

¿

?

o peor, err´nea ...
o
De Godino et al: Proporcionalidad y su did´ctica para maestros (p. 425),
a
http://tinyurl.com/8kxkr7r

3
Pedro Ramos, Dpto. de Matem´ticas (UAH). Matem´ticas II. Grado de Educaci´n Primaria. Curso 2013-2014
a
a
o

Ejemplos
∗ Problema: Si 3 entradasde cine cuestan 21 euros, ¿cu´nto
a
costar´n 5 entradas iguales?
a
∗ Soluci´n 1:
o
Como 3 entradas cuestan 21 euros, cada entrada cuesta 7
euros. Por tanto, 5 entradas costar´n 35 euros.
a
Reducci´n a la unidad
o
∗ Soluci´n 2:
o
3
5

→
→

21
x

⇒

21 · 5
x=
3

Regla de tres
4
Pedro Ramos, Dpto. de Matem´ticas (UAH). Matem´ticas II. Grado de Educaci´n Primaria. Curso2013-2014
a
a
o

Ejemplos
∗ Problema: Si 3 entradas de cine cuestan 21 euros, ¿cu´nto
a
costar´n 5 entradas iguales?
a
Una alternativa: los diagramas de barras (Singapur).

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∗ Al menos, una buena herramienta auxiliar.
Ventaja: visualizar ayuda a entender.
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Pedro Ramos, Dpto. de Matem´ticas (UAH). Matem´ticas II. Grado de Educaci´n Primaria. Curso 2013-2014
a
a
oProporcionalidad en la pr´ctica. Series proporcionales
a
∗ Dadas dos series de datos {x1 , x2 , . . . , xn },
{y1 , y2 , . . . , yn }, se dice que son propocionales si xj /yj es
constante (vale lo mismo para j = 1, . . . , n).
∗ Un experimento (f´cil e instructivo)
a
Hacer una tabla con la cantidad de agua que se echa en los
siguientes vasos (medida en centilitros, en cucharadas, ...)
y laaltura alcanzada en el vaso. ¿Para qu´ modelo las
e
series son proporcionales?

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Pedro Ramos, Dpto. de Matem´ticas (UAH). Matem´ticas II. Grado de Educaci´n Primaria. Curso 2013-2014
a
a
o

Series proporcionales
∗ Si representamos en el plano cartesiano los datos del
experimento anterior, ¿qu´ obtenemos?
e

yi

yi
xi

7

Recta y = kx

xi
(aproximadamente)
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a
a
o

Problemas
∗ Un ejemplo importante de raz´n: la escala.
o
La distancia entre dos puntos en un mapa de escala
1:20000 es de 6 7 cm. ¿Cu´l es la distancia real?
a
∗ La raz´n entre los lados de dos rect´ngulos es r. ¿Cu´l es
o
a
a
la raz´n entre los per´
o
ımetros? ¿Y entre las ´reas?
a
∗ Si8 hombres cortan 11 troncos en 6 horas, ¿cu´nto tiempo
a
les llevar´ a 5 hombres cortar 3 troncos, trabajando a la
a
misma velocidad?
Una alternativa a la “regla de 3 compuesta”: la reducci´n
o
a la unidad.
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a
a
o

Magnitudes inversamente proporcionales
∗ Se dice que dos...