RCF T8 V1c

Asignatura: 5014 MECÁNICA (6 ECTS)
Tema 8: Cinética de sistemas: aplicación al sólido rígido I (v. 1)
Ref.
8.1

(RCF)

Concepto

Definición

Centro de masas C de un sistema material.

Punto respecto al cual el momento estático de un sistema material
es nulo.
MC =
m(P)CP = 0
∀P

Si M es la masa total del sistema material y O es el origen del

sistema de referencia:


m(P) x(P)





∀P

xC =



M


m(P)OP



m(P)
y(P)


∀P
OC =
→
∀P


M
yC =



M





m(P)
z(P)





∀P


 zC =
M
Si la distribución tiene elementos de simetría (másicogeométricos) el punto C, pertenece a dichos elementos.
NOTA.- El centro de gravedad G, sólo coincide con C para el caso
habitual de modelado simplificado, en que se considera g = cte.
8.2

Momento de inercia respecto a unarecta Iδ de un sistema material.

Es la suma de las masas de la distribución por las distancias al
cuadrado de dicha recta. Es una magnitud escalar positiva.
Iδ =

m(P) d2 (δ, P) =
∀P

m(P) nor [(uδ × OP) × uδ ] =
∀P

=

m(P) nor (uδ × OP) , ∀O ∈ δ
∀P

8.3

Producto de inercia Pπ1 ,π2 , respecto a
un par de planos perpendiculares.

Es la suma de las masas de la distribución por el producto de
lasdistancias (“con su signo”) a dichos planos. Es una magnitud
escalar y puede ser positiva, negativa o nula. El signo dependerá
de los sentidos elegidos para los vectores directores de los planos
intervinientes.
La distancia (“con su signo”) de un punto a un plano es:
± d (π, P) ≡ (uπ · OP) , ∀O ∈ π
Pπ1 ,π2 =

m(P) [± d (π1 , P )] [± d (π2 , P) ] =
∀P

=

m(P) (uπ1 · OP)(uπ2 · OP) , ∀O ∈ π1 ∩ π2∀P

Se tiene que: Pπ1 ,π2 = Pπ2 ,π1
Si al menos uno de los planos intervinientes es de simetría, resulta
que el producto de inercia es nulo.

Ref.
8.4

Concepto
Teoremas de Steiner para los momentos y productos de inercia.

Definición

2
Iδ = IδC + M dδ,δ
= IδC + M nor (OC × uδ )
C
∀O ∈ δ

Pπ1 ,π2 = Pπ1,C ,π2,C + M (± dπ1 ,π1,C )(± dπ2 ,π2,C )
ó
Pπ1 ,π2 = Pπ1,C ,π2,C + M (uπ1 · OC)(uπ2 · OC)
∀O ∈ π1∩ π2
δC es una recta paralela a δ que pasa por el centro de masas C.
π1,C y π2,C son dos planos paralelos respectivamente a π1 y π2
que pasan por el centro de masas C.
8.5

Momentos de inercia y productos de
inercia respecto de los ejes y planos
coordenados de un sistema de referencia cartesiano S. Matriz de Inercia.

Ix =

m(P) · [y2 (P) + z2 (P)]
∀P

Iy =

m(P) · [z2 (P) + z2 (P)]
∀P

Iz =

m(P) ·[x2 (P) + y2 (P)]
∀P

P xy = Pyx =

m(P) · x(P)y(P)
∀P

P xz = Pzx =

m(P) · x(P)z(P)
∀P

Pyz = Pzy =

m(P) · y(P)z(P)
∀P



 I x


Matriz de Inercia: (IO ) =  −Pyx



−Pzx
8.6

Momento de inercia Iδ respecto a una
recta cualquiera δ que pasa por el origen O. Expresión matricial.

−P xy

−P xz

Iy

−Pyz

−Pzy

Iz












Sea uδ un vectorunitario cuya dirección coincide con la de la
recta δ. Entonces el momento de inercia Iδ respecto de dicha recta
puede calcularse utilizando la siguiente expresión matricial:


 I x


Iδ = (cos α cos β cos γ)  −Pyx



−Pzx

−P xy

−P xz

Iy

−Pyz

−Pzy

Iz



 

  cos α 
 

 

 

cos
β
 

 

 

cosγ 

Ref.
8.7

Concepto

Definición

Tensor de Inercia IO .

El concepto de tensor de inercia traduce la idea de un forma cuadrática Iδ = uδ · IO · uδ con existencia intrínseca, es decir, independiente de la base o forma elegida para su representación. Así,
fijado un sistema S de coordenadas cartesianas con origen en O,
la matriz de dicha forma cuadrática resulta ser la matriz de inercia (I¯O )S .Los elementos de dicha matriz son las componentes del
tensor de inercia, I¯O , en el sistema de referencia S.

8.8

Transformación de la matriz de inercia
al cambiar la orientación del sistema de
referencia.

Sea [v]S el vector columna que contiene las tres componentes
de un vector v en un sistema de referencia cartesiano S y [v]S
el vector columna que contiene las tres componentes del...