Recta Tangente Y La Derivada

1 La rectas tangente y la derivada
La idea intuitiva de recta tangente L en un punto arbitrario P de una curva es la siguiente:
”Es la recta que pasa por P y tiene la misma direcci´on que la curva en P”.
Como la direcci´on de una recta queda determina por su pendiente, encontraremos una f´ormula
que dar´a la pendiente aproximada de la recta tangente.
Supongamos que deseamos determinar lapendiente de la recta tangente L a la representaci´on
gr´afica de la funci´on f en el punto P(a; f(a)). Como se muestra en la siguiente figura
a
b
X
Y
P
Q
L
K
y= ( ) f x
a a+h
f (a)
f (a+h)
D =x a
D = ( + )- ( ) y a h a f f
Sea K la recta que pasa por el punto P(a; f(a)) y un punto cercano Q(a + h; f(a + h)) en la
representaci´on gr´afica.
La pendiente de la recta K es
tan ® = m(h) =∆y
∆x
=
f(a + h) ¡ f(a)
h
; h = 0 6
Observe que cuando h ¡! 0:
(a) Q ¡! P
(b) K ¡! L
(c) ® ¡! ¯
(d) tan ® ¡! tan ¯
Entonces, la recta tangente L a la representaci´on gr´afica de la funci´on f en el punto P(a; f(a))
1Derivadas y aplicaciones. Yoel Guti´errez 2
tiene pendiente
m = lim
h¡!0
f(a + h) ¡ f(a)
h
:
1.1 Observaciones
Sea P(a; f(a)) un punto de la representaci´on gr´aficade la funci´on f
(a) Si m = limh¡!0
f(a+h)¡f(a)
h
existe, la representaci´on gr´afica tiene una recta tangente en P, de
ecuaci´on y ¡ f(a) = m(x ¡ a).
(b) Si limh¡!0+
f(a+h)¡f(a)
h
es +1 o ¡1, o bien, limh¡!0¡
f(a+h)¡f(a)
h
es +1 o ¡1, la recta
tangente existe y su ecuaci´on es x = a:
(c) Si no se cumple ni (a) ni (b), no existe recta tangente a la representaci´on gr´afica de f en elpunto P(a; f(a)).
1.2 Definici´on
La derivada de una funci´on f es la funci´on f
0
definida por
f
0
(x) = lim
h¡!0
f(x + h) ¡ f(x)
h
para todo x, del dominio de f, donde exista el l´ımite.
1.3 Observaciones
(a) Se requiere que f est´e definida en un intervalo abierto que contenga a x para que f
0
(x) exista.
(b) El proceso de encontrar la derivada f
0
se llama derivaci´on de f.(c) Cuando estamos interesados particularmente en el valor de la derivada f
0
en x = a, a veces
escribimos la ecuaci´on dada en la definici´on, de la forma
f
0
(a) = lim
h¡!0
f(a + h) ¡ f(a)
h
= lim
x¡!a
f(x) ¡ f(a)
x ¡ a
Si f
0
(a) existe decimos que f es derivable en x = a.
(d) La pendiente de la recta tangente a la representaci´on gr´afica de la funci´on f en el punto
(x; f(x)) esf
0
(x), si la recta tangente no es paralela al eje Y .
(e) Si y = f(x), para referirnos a la derivada de f, las siguientes notaciones son muy usuales
dy
dx
=
d
dx
f(x) = Df(x) = Dxy = f
0
(x) = y
0
Se debe saber que
dy
dx
no es el cociente de dos cantidades separadas dy y dx.
Con estas nuevas notaciones, se tiene que
f
0
(a) =
dy
dx x=a
= Dxy
x=a
:
Teorema 1.1 Si f esderivable en a, entonces f es continua en a.Derivadas y aplicaciones. Yoel Guti´errez 3
1.4 Definiciones
Sea f una funci´on definida en a
(a) La derivada por la derecha de f en a, se define como
f
0
+(a) = lim
h¡!0+
f(a + h) ¡ f(a)
h
= lim
x¡!a+
f(x) ¡ f(a)
x ¡ a
si es que el l´ımite existe.
(b) La derivada por la izquierda de f en a, se define como
f
0
¡(a) = lim
h¡!0¡
f(a + h) ¡f(a)
h
= lim
x¡!a¡
f(x) ¡ f(a)
x ¡ a
si es que el l´ımite existe.
Teorema 1.2 Una funci´on f definida en un intervalo abierto que contenga al n´umero a es derivable en a si y s´olo si f
0
+(a) y f
0
¡(a) existen y son iguales.
2 Teoremas de derivaci´on
Teorema 2.1 Si f(x) = c, donde c es una constante real, entonces f
0
(x) = 0.
Teorema 2.2 Si f(x) = x, entonces f
0
(x) = 1.Teorema 2.3 Si nes un entero mayor que uno y f(x) = x
n
, entonces f
0
(x) = nx
n¡1
Teorema 2.4 Sea f una funci´on, c una constante y g una nueva funci´on definida por
g(x) = cf(x). Si f
0
(x) existe, entonces g
0
(x) = cf
0
(x).
Teorema 2.5 Sean f1; f2; : : : ; fn; h y t funciones tales que
h(x) = f1(x) § f2(x) § : : : § fn(x)
y
t(x) = f1(x):f2(x): : : fn(x)
Si f
0
1
(x); f
0
2...