Recta Tangente
Páginas: 5 (1067 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2012
Recta Tangente
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea [pic] una curva, y [pic] un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en [pic] lacurva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a [pic] en [pic] es la recta [pic] que pasa por [pic] y que tiene la misma dirección que [pic]alrededor de [pic].
La tangente es la posición límite de la recta secante ([pic]) (el segmento [pic] se llamacuerda de la curva), cuando [pic] es un punto de [pic] que se aproxima indefinidamente al punto [pic] ([pic] se desplaza sucesivamentepor [pic]
Si [pic] representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta [pic] tendrá como coeficiente director (o pendiente):
[pic]
Donde [pic] son las coordenadas del punto [pic] y [pic] las del punto [pic]. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:
[pic]
Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es [pic]:[pic]
La recta ortogonal a la tangente [pic] que pasa por el punto [pic] se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por [pic]. Siendo su ecuación:
[pic]
Suponiendo claro está que[pic]. Si [pic] entonces la recta normal es simplemente[pic].
Máximo de una función
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva ydespués del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimo de una función
En un punto en el que la derivada seanule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b)
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente conque su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
[pic]
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
[pic]
[pic]
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de lafunción en ese punto.
mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Interpretación Física De La Derivada
Velocidad promedia y velocidad instantánea
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h.Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino...
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea [pic] una curva, y [pic] un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en [pic] lacurva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a [pic] en [pic] es la recta [pic] que pasa por [pic] y que tiene la misma dirección que [pic]alrededor de [pic].
La tangente es la posición límite de la recta secante ([pic]) (el segmento [pic] se llamacuerda de la curva), cuando [pic] es un punto de [pic] que se aproxima indefinidamente al punto [pic] ([pic] se desplaza sucesivamentepor [pic]
Si [pic] representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta [pic] tendrá como coeficiente director (o pendiente):
[pic]
Donde [pic] son las coordenadas del punto [pic] y [pic] las del punto [pic]. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:
[pic]
Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es [pic]:[pic]
La recta ortogonal a la tangente [pic] que pasa por el punto [pic] se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por [pic]. Siendo su ecuación:
[pic]
Suponiendo claro está que[pic]. Si [pic] entonces la recta normal es simplemente[pic].
Máximo de una función
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva ydespués del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimo de una función
En un punto en el que la derivada seanule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b)
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente conque su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
[pic]
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
[pic]
[pic]
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de lafunción en ese punto.
mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Interpretación Física De La Derivada
Velocidad promedia y velocidad instantánea
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h.Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino...
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