Rectas planas y en el espacio

LA RECTA

LA RECTA EN EL PLANO

Inclinación y pendiente de una recta
Sea una recta dirigida hacia arriba. Se llama ángulo de inclinación de al ángulo que la recta forma con el eje X positivo. Si es paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero.













Se llama pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente se designacomúnmente por la letra y se escribe entonces
,
siendo la medida del ángulo de inclinación.

Observación: Cualquier recta que coincida o sea paralela a1 eje Y será perpendicular a1 eje X, y su ángulo de inclinación será de 90º. Como no está definida, la pendiente de una recta paralela a1 eje Y no existe.

Si y son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta dirigida , la pendiente de larecta es
,
siendo .












Ángulo de dos rectas
Sean una recta dirigida con ángulo de inclinación y pendiente y una recta dirigida con ángulo de inclinación y pendiente . La medida del ángulo agudo formado por las rectas está dada por
,
siendo .


















Como la medida de un ángulo exterior de un triángulo es la suma de las medidas de losdos ángulos internos no adyacentes se tiene
,
es decir,
.
Por tanto,
.

Condición de paralelismo entre dos rectas
Sean las rectas con pendiente y con pendiente . Las rectas y son paralelas si y sólo si .











Si y son paralelas, entonces , lo que implica que
.
De manera recíproca, si , es decir, si
,
entonces , lo que implica que y son paralelas.Condición de perpendicularidad entre dos rectas
Sean las rectas con pendiente y con pendiente . Las rectas y son perpendiculares si y sólo si .
















Si y son perpendiculares, entonces
,
o sea,
,
lo que implica que
.
De aquí,
,
es decir,
.
De manera recíproca, si , es decir, si
,
entonces
,
lo que implica que , o sea, y sonperpendiculares.

Ecuación punto - pendiente de la recta
Sea una recta que pasa por el punto y tiene pendiente . Un punto del plano pertenece a la recta , si y sólo si
,
o sea,
.
Esta ecuación se llama ecuación punto - pendiente de la recta .

Nota: Una recta paralela o coincidente con el eje Y no tiene pendiente, por lo cual no existe una ecuación de este tipo para dicha recta.

Ecuaciónexplícita o pendiente – ordenada al origen de la recta
De la ecuación punto – pendiente

de la recta se tiene
.
Haciendo se tiene
.
Esta ecuación se llama ecuación pendiente – ordenada al origen de la recta . El número se llama ordenada al origen de la recta y representa la ordenada del punto en que la recta corta al eje Y.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
Seauna recta que pasa por los puntos y . La pendiente de está dada por
.

Un punto del plano pertenece a la recta si y sólo si
, o sea
esta es la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .
Obs.:
1. Si , la última ecuación no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje , y su ecuación es .
2. Si se multiplica la última ecuación por , se obtiene:
que puedeescribirse en forma de determinante

3. Entonces, para que los puntos estén sobre una misma recta, se debe cumplir que:


Ecuación simétrica de una recta

La recta cuyas intercepciones con los ejes X e Y son y , respectivamente, tiene por ecuación

Esta ecuación se llama ecuación simétrica de la recta.

Ecuación general de la recta

Una ecuación de la forma

donde orepresenta una recta . Esta ecuación se llama ecuación general de la recta .
De la ecuación general se tiene
.
Comparando con la ecuación pendiente ordenada al origen se tiene que la pendiente de la recta es
.

Posiciones relativas de dos rectas

Si las ecuaciones de dos rectas son C y , entonces las rectas:
1. son paralelas si
2. son perpendiculares si
3. son coincidentes si...