Redes Lineales

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Capítulo 6

REDES LINEALES
Se desea definir redes lineales y estudiar sus propiedades. Luego se desarrollará el método de análisis por superposición para redes lineales; y dos importantes casos particulares de este método: Los teoremas de Thévenin y Norton. Una red lineal está formada por la interconexión de componentes elementales lineales. Entonces una red lineal queda descrita por unsistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El número de ecuaciones es igual al número de componentes dinámicas, esto si existe un árbol que contenga a todos los condensadores y fuentes independientes de tensión, y que las cuerdas contengan a todos los inductores y fuentes de corriente. De la definición de linealidad podremos demostrar qué modelos matemáticos pueden emplearse pararepresentar componentes lineales. Veremos que los condensadores, resistencias e inductores son componentes lineales. Una red no-lineal es aquella que no es lineal. Un número importante de redes útiles son nolineales. Las redes lineales son un caso particular de sistemas lineales, que se estudia como asignatura aparte. Comenzamos el estudio observando redes con una excitación y una respuesta;luego, redes con dos excitaciones y, finalmente, el caso general de n excitaciones.

6.1 Redes con una excitación y una respuesta
En la Figura 6.1 se tiene una red que posee sólo una fuente independiente, que se considera la excitación. De todas las variables de la red se escoge el voltaje en la resistencia R3 como la respuesta.

Ejemplo 6.1.
Sea la siguiente red:

Leopoldo Silva Bijit27-06-2008

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Teoría de Redes Eléctricas

i1 R1 e(t) R2 i2 i3 R3 r(t)

Figura 6.1. Red con una excitación. De todas las variables observables se escogió arbitrariamente una. En el caso de la Figura 6.1, se eligió r, el voltaje en R3. La corriente i1 resulta, mediante equivalencias:

i1 R1
La corriente i3, por divisor de corriente:

e R2 R3 R2 R3

(6.1)

i3
Finalmente:

i1

R2R2 R3

(6.2)

r (t ) i3 R3

( R1R2

R2 R2 R3

R3 R1 )

e(t )

(6.3)

Si el coeficiente, formado por las resistencias, se denomina g, resulta:

r (t )

g e(t )

(6.4)

La relación (6.4) la podemos simbolizar, empleando notación de sistemas, según se muestra en la Figura 6.2.

e(t)

S

r(t)

Figura 6.2. Símbolo de sistema. Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo6. Redes lineales

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El símbolo relaciona el estímulo, excitación o causa, con la reacción, respuesta o efecto. La relación entre ambas es la red R. Se anota: (6.5) S : r(e) Es decir, la red S está definida por una relación. En el caso del ejemplo:

r (e) ge

(6.6)

6.2. Linealidad para redes con una excitación
La red descrita por el sistema: S: r(e) es lineal si y solamente si cumplelas propiedades de homogeneidad, o proporcionalidad, y superposición. Una red es homogénea si al aplicar una proporción de un estímulo conocido, la respuesta también varía en esa proporción. Es decir, si se conoce que:

e(t)

S

r(t)

Figura 6.3. Causa – efecto. Entonces se cumple, por homogeneidad que:

k e(t)

S

k r(t)

Figura 6.4. Homogeneidad. Como k es una constante, la formade e y ke son proporcionales; también r y kr tienen formas proporcionales. Una red tiene la propiedad de superposición, si al aplicar la suma de dos estímulos, en general diferentes, la respuesta es la suma de las respuestas a cada uno de los estímulos. Es decir, si se tiene que: Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

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Teoría de Redes Eléctricas

e1(t)

S

r1(t)

e2(t)

S

r2(t)Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes. Entonces se cumple que:

e1(t)+e2(t)

S

r1(t)+r2(t)

Figura 6.6. Superposición. Combinando las definiciones anteriores, y si se tienen las relaciones de la Figura 6.5, se dice que S es lineal, si y solamente si:

ae1(t) + be2(t)

S

ar1(t) + br2(t)

Figura 6.7. Linealidad. Donde a y b son constantes. Debe notarse que sólo existe una...