Regresion Lineal Simple

Regresión Lineal Simple, Estadística II – 3006915

Prof. Nelfi González A. – Escuela de Estadística

1.

Introducción

En muchas ocasiones es posible diseñar experimentos estadísticos controlados, en los cuáles es factible el estudio simultáneo
de varios factores, aplicando procedimientos de aleatorización apropiados, en lo que se conoce como diseño y análisis de
experimentos. Sin embargo enotras ocasiones sólo se cuenta con un conjunto de datos sobre los cuáles es difícil esperar que
hayan sido observados en condiciones estrictamente controladas, y de los cuáles también en pocas ocasiones se tienen
réplicas para calcular el error experimental.
Cuando se enfrenta la situación anterior lo más apropiado es aplicar los métodos de regresión. Debe tenerse presente que los
métodos deregresión permiten establecer asociaciones entre variables de interés entre las cuáles la relación usual no es
necesariamente de causa - efecto. En principio, consideramos una asociación lineal entre una variable respuesta Y y una
variable predictora X (es decir, de la forma y = f ( x ) = β 0 + β1 x ).

2.
2.1

Fundamentos

Nomenclatura

9 Y

Variable respuesta o dependiente

9 X

Variable predictora,independiente o regresora

9 ε

Error aleatorio

9 β 0 , β1

Parámetros de la regresión. β 0 es el intercepto y β1 la pendiente de la línea recta.

9 βˆ 0

Estimador del parámetro β 0

9 βˆ1

Estimador del parámetro β1

9 e

Residual, es una estimación del error aleatorio.

9 Yˆ

Es la estimación de E (Y | X ) ó μY |X

2.2

Significados de la regresión

La regresión tiene dos significados:
9Primero, podemos verla a partir de la distribución conjunta de las variables X e Y , en la cual podemos definir la
distribución condicional de Y | X , esto es, f (Y | X ) , y determinar E (Y | X ) . En este caso la regresión pretende
ajustar la curva correspondiente a E (Y | X ) .

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9 Segundo, dado un conjunto de pares de datos

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( X ,Y ) ,

puede asumirse una forma funcional para la curva de

regresión y tratar de ajustarla a los datos minimizando el error de ajuste.
El segundo caso es el que más se da en la práctica.
2.3

Supuestos

9 La variable respuesta Y es una variable aleatoria cuyos valores se observan mediante la selección de los valores de
la variable predictora X en un intervalode interés.
9 Por lo anterior, la variable predictora X no es considerada como variable aleatoria, sino como un conjunto de valores
fijos que representan los puntos de observación, que se seleccionan con anticipación y se miden sin error. Sin
embargo si esto último no se cumple, el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios para los parámetros
del modelo de regresión puede seguir siendoválido si los errores en los valores de la variable predictora son
pequeños en comparación con los errores aleatorios del modelo ε i .
9 Los datos observados, ( xi , yi ) ,i = 1,… ,n , constituyen una muestra representativa de un medio acerca del cual se
desea generalizar. Si no es así, no es apropiado realizar inferencias en un rango de los datos por fuera del
considerado.
9 El modelo deregresión es lineal en los parámetros. Es decir, ningún parámetro de la regresión aparece como el
exponente o es dividido o multiplicado por el otro parámetro, o cualquier otra función. Sin embargo, la línea de ajuste
puede tener una curvatura (no ser lineal en X y/o en Y ), caso en el cual mediante una transformación conveniente
de las variables ( X y/o Y ), es posible aplicar las técnicas de regresiónlineal sobre estas nuevas variables.
9 Si la ecuación de regresión seleccionada es correcta, cualquier variabilidad en la variable respuesta que no puede ser
explicada exactamente por dicha ecuación, es debida a un error aleatorio.

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9 Los valores observados de la variable respuesta no son...