Regresion Lineal

3 Regresión lineal múltiple: estimación y propiedades
Ezequiel Uriel
Universidad de Valencia
Versión 5-09-2012
3.1 El modelo de regresión lineal múltiple
1
3.1.1 Modelo de regresión poblacional y función de regresión poblacional
2
3.1.2 Función de regresión muestral
4
3.2 Obtención de estimaciones de mínimos cuadrados, interpretación de los coeficientes, y otras
características
53.2.1 Obtención de estimadores MCO
5
3.2.2 Interpretación de los coeficientes
6
3.2.3 Implicaciones algebraicas de la estimación
10
3.3 Supuestos y propiedades estadísticas de los estimadores de MCO
12
3.3.1 Supuestos estadísticos del MLC (regresión lineal múltiple)
12
3.3.2 Propiedades estadísticas del estimador de MCO
14
3.4 Más sobre formas funcionales
18
3.4.1 Utilización delogaritmos en los modelos econométricos
18
3.4.2 Funciones polinomiales
18
3.5 Bondad del ajuste y selección de regresores
20
3.5.1 Coeficiente de determinación
20
3.5.2 R cuadrado ajustado
21
3.5.3 Criterio de información de Akaike (AIC) y criterio de Schwarz (SC)
22
Ejercicios
25
Apéndices
33
Apéndice 3.1 Demostración del Teorema de Gauss-Markov
33
Apéndice 3.2 Demostración: es unestimador insesgado de la varianza de la
perturbación
34
Apéndice 3.3 La consistencia del estimador de MCO
36

3.1 El modelo de regresión lineal múltiple
El modelo de regresión lineal simple no es adecuado para modelizar muchos
fenómenos económicos, ya que para explicar una variable económica se requiere en
general tener en cuenta más de un factor. Veamos algunos ejemplos.
En la funciónkeynesiana clásica el consumo se hace depender de la renta
disponible como única variable relevante:
cons   0  1renta  u

(3-1)

Sin embargo, hay otros factores que pueden considerarse relevantes en el
comportamiento del consumidor. Uno de esos factores podrían ser la riqueza. Con la
inclusión de este factor se tendrá un modelo con dos variables explicativas:
cons   0  1inc   2riqueza  u

(3-2)

En el análisis de la producción se utilizan a menudo las funciones potenciales,
que con una especificación adecuada pueden ser transformadas (tomando logaritmos
naturales, en este caso) en modelos lineales en los parámetros. Utilizando un solo input
(trabajo), un modelo para explicar el output se especifica del siguiente modo:
ln(output )   0  1 ln(trabajo)  u(3-3)

El modelo anterior es claramente insuficiente para el análisis económico. Sería
mejor utilizar el conocido modelo de Cobb-Douglas, en el que se consideran dos inputs
primarios (trabajo y capital):
1

ln(output )   0  1 ln(trabajo)   2 ln(capital )  u

(3-4)

De acuerdo con la teoría microeconómica, los costes totales (costot) se expresan
como una función de la cantidadproducida (cantprod). Una primera aproximación para
explicar el coste total podría ser un modelo con un único regresor:
costot   0  1cantprod  u

(3-5)

Sin embargo, es muy restrictivo considerar que, como sería el caso del modelo
anterior, el coste marginal permanece constante, independientemente de la cantidad
producida. En la teoría económica se propone, una función cúbica, lo queconduce al
siguiente modelo econométrico:
costot   0  1cantprod   2 cantprod 2   3cantprod 3  u

(3-6)

En este caso, a diferencia de los anteriores, en el modelo sólo hay una variable
explicativa, pero que da lugar a tres regresores.
Los salarios se determinan por diferentes factores. Un modelo relativamente
simple para explicar los salarios en función de los años de educación y delos años de
experiencia es el siguiente:
salarios   0  1educ   2 exper  u

(3-7)

De todos modos, otros factores importantes para explicar los salarios pueden ser
variables cuantitativas tales como el tiempo de formación y la edad, o variables
cualitativas, como el sexo, la rama de actividad, etc.
Por último, para explicar los gastos en consumo de pescado los factores
relevantes...