Regresion Y Correlacion Lineal

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”.
DECANATO DE INGENIERIA CIVIL.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

REGRESION Y CORRELACION LINEAL.

INTEGRANTES:
GALLARDO VANESSA
RIERA HECTOR

PROFESOR: CRISTOBAL ESCALONA.
ASIGNATURA: ESTADISTICA.
SEMESTRE: CUARTO.

BARQUISIMETO, AGOSTO DEL 2012.
Fundamento Teórico:
La regresión permite conseguir la relación entre dos o másvariables para adquirir información acerca de una de ellas al conocer valores de otras.
Si se tiene y= a + bx (Una relación lineal) dos pares de valores (x1, y1) y (x2, y2) determinan las constantes en la ecuación, siendo satisfactorio considerando que las cantidades observadas no presentan error.
Sin embargo, existen errores en las observaciones y si se realizan algunas mas (x3, y3) es posible quese encuentre un punto que no se ajuste de manera exacta a la línea recta que pasa por los dos puntos originales. En tal sentido, los métodos estadísticos permiten ajustar la mejor línea a una serie de datos, en lugar de trazar una línea de ojo.
Ecuación de Regresión
Poblacional desconocida
Ahora bien, tenemos las siguientes ecuaciones

Yi= μ yx+E=α+βxi+Ei
Ecuación de Regresión
muestralμyx=Valor esperado
Ei=Error aleatorio

yi=a+bx+ei

Si a y b son estimaciones de los parámetros α y β se puede estimar μyx por
ŷ = a + bx (línea de regresión ajustada) basada en datos muestrales.

Cada observación de la muestra (xi , yi) satisface la siguiente ecuación:
yi= μ yxi+∈i=α+βxi+∈i
Donde:
∈i = Es el valor que asume Ei cuando Yi toma el valor yi
μ yxi = Valor esperadoconstante.
Ei = Error aleatorio con distribución normal.

De manera similar, al utilizar la línea de regresión estimada o ajustada:
ŷ = a + bxi

Cada par de observaciones satisface la relación,
yi=a+bxi + ei
Donde ei=yi-ŷ, se llama residuo y describe el error en el ajuste del modelo en el punto i de los datos.

Comparación de ∈i con ei (errores aleatorios y residual respectivamente)

(xi,yi)

ŷ=a+bxi

μyx= α+βxi


Xi

Estimación de los parámetros del modelo (α, β, δ2)

Los parámetros del modelo casi nunca se disponen o conoce el investigador. Lo que si conoce es una serie de valores observados (xi, yi) con lo que sepuede estimar los parámetros, partiendo del supuesto que estas observaciones han sido obtenidas de manera independiente entre sí.

Métodos de los Mínimos Cuadrados.

Para lograr el ajuste de la mejor línea nos basaremos en los mínimos cuadrados, el cual establece que si y es una función lineal de una variable independiente x, la posición más probable de una recta y= a + bx es tal que la suma delos cuadrados de las desviaciones de todos los puntos respecto de la línea sea un mínimo.
Las desviaciones se miden en la dirección del eje y, se considera que x está libre de errores o son insignificantes, tanto que y es la cantidad observada o medida sujeta a errores que deben ser eliminados.
Partamos del supuesto que debido a la naturaleza física de la relación entre y y x es decomportamiento lineal, o bien, se espera o sospecha que lo es. Por tanto se expresa la relación como ŷ= a + bx (1).

Ahora el propósito es encontrar los valores de a y b para la línea de mejor ajuste.

X


Ŷ= a + bx

Respecto a un punto i en la línea yi=a+bxi
Ocurre error en la mediciónpresentándose un residuo de tal manera que:
yi-a+bxi=ei
Para cada una de las observaciones se obtiene una ecuación
y1-a+bx1=e1
y2-a+bx2=e2
: : :
: : :
yn-a+bxn=en

Podemos expresar la sumatoria de los cuadrados de los residuos
ρ= i=1nei2
ρ= i=1n[ yi-a+ bi]2
Se debe satisfacer que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima,...