Relacion Problemas Leccion2 Parte 1 Curso2011 2012 Solucion

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2 – Parte 1

PROBLEMA 1
Dada la función f ( x) =

x2
, calcule:
x−2

a) La función derivada.
b) La derivada en el punto x = 4.
Solución:
a) Para calcular la función derivada al ser la función un cociente de dos funciones
aplicamos la derivada del cociente.
2 x ( x − 2) − x 2 x 2 − 4 x
f ´(x) =
=
( x − 2) 2
( x − 2) 2Como podemos observar, la función derivada de una función es otra función.
Generalmente, y por comodidad del lenguaje, no se dice función derivada, sino
sólo derivada, lo cual puede llevar a error con el concepto de derivada de una función en un
punto que es sólo un número.
b) Para calcular el valor de la derivada en un punto, podríamos proceder de dos
formas. La primera sería la forma formal yconsiste en aplicar la definición, y la segunda,
que es lo que realmente hacemos en la práctica, consiste en calcular la función derivada
utilizando las reglas de derivación y sustituir en el punto:
f ´(x) =

x 2 − 4x
⇒ f ´(4) = 0
( x − 2) 2

PROBLEMA 2
Sean las funciones:
f ( x, y, z ) = ( x 2 yz, Ln( xyz ), e xyz )
uv
g (u , v, w) =
w

a) Determine el dominio de f y g.
b) Diga cuáles son lasfunciones escalares componentes de f.
c) ¿Se pueden componer f y g?
1

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2 – Parte 1

Solución:
a) Vemos que la función f es una función vectorial, mientras que la función g es
una escalar. Si llamamos D al dominio de la función f y H al de la función g, tenemos:

f : D ⊂ R 3 → R 3 , g : H ⊂ R 3 → R,
siendo:

{

}

- D = (x, y, z ) ∈ R 3 / xyz > 0 , ya que un logaritmo sólo se puede aplicar a
números estrictamente positivos.

{

}

- H = (u , v, w) ∈ R 3 / w ≠ 0 , puesto que, al ser g un cociente de funciones,
sabemos que su dominio estará formado por todos los números reales excepto aquellos que
hagan el denominador nulo.

b) Las funciones escalares componentes de f serían:
f 1 ( x, y, z ) = x 2 yz, f 2 ( x, y, z )= Ln( xyz ), f 3 ( x, y, z ) = e xyz

c) Dado que f : D ⊂ R 3 → R 3 y g : H ⊂ R 3 → R , la composición f o g sería
imposible de calcular dado que, por definición, habría que aplicar f al resultado de haber
aplicado anteriormente g, es decir, deberíamos calcular f [ g (u , v, w)] . Esto sólo sería posible
si se cumpliera que g(H) ⊂ D ⊂ R3 pero, en este caso, al ser g una función escalar, suespacio imagen g(H) ⊂ R y no en R3, lo cual demuestra que la composición f o g no tiene
sentido.
Estudiemos la composición g o f más detenidamente. Para calcular esta
composición, habría que aplicar g al resultado de haber aplicado antes f, esto es, tendríamos
que calcular g[ f ( x, y, z )] , para lo cual se debe cumplir que f(D) ⊂ H ⊂ R3 . En principio,
sabemos que f(D) ⊂ R3, así que nos quedacomprobar si f(D) ⊂ H. Dado que H se encuentra
formado por los vectores de R3 cuya tercera componente es distinta de cero y dado que la
tercera componente de f, dada por la función f 3 ( x, y, z ) = e xyz , toma siempre valores
superiores a 0, la composición g o f sería posible. Dicha composición es:

g o f : D ⊂ R3 → R
( x, y , z ) →

x 2 yzLn( xyz )
e xyz

2

Matemáticas para la Economía y la EmpresaGADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2 – Parte 1

PROBLEMA 3
Calcule Dv f ( x0 ) para x0 = (1 , 1 ) y v = ( 3 , 2 ) , para la siguiente función:
f(x1, x2) =

Ln ( x1 )
x2

Solución:
En este ejercicio, la función f es una función escalar
f : D ⊂ R2 → R
( x1 , x 2 ) → f ( x1 , x 2 ) =

{

Ln x1
x2

}

definida sobre D = ( x1 , x 2 ) ∈R 2 / x1 > 0, x 2 ≠ 0 , que es un subconjunto abierto de R 2 . EsLn1
= 0.
evidente que x0 = (1 , 1 ) ∈ D y su imagen es f (1 , 1) =
1
Al calcular la derivada direccional según el vector v = ( 3 , 2 ) en el punto
x0 = (1 , 1 ), pretendemos obtener una medida de la tasa de variación de la función al
alejarnos infinitesimalmente del punto ( 1, 1 ), en la dirección del vector ( 3, 2 ). Para
calcular dicha derivada, puesto que nuestra función admite derivadas...