Relaciones Binarias

2.2. RELACIONES BINARIAS

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2.1.4 Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto nito A, Card(A), es el número de elementos de A. Si A es un conjunto innito se escribirá Card(A) = ∞. Sean A y B dos conjuntos nitos cualesquiera, entonces

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) ≤ ≤ Card(A) + Card(B)
Si A ∩ B = ∅, Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B).

(2.18)

n ⇒ Card(P (A))= 2n .

Observación: Se puede comprobar que si A es un conjunto nito, Card(A) =

Ejemplos 2.1.7 1) Card(N) = ∞

2) Sean A = {−2, 0, 3, 17} y B = {−7, 0, 5, 17, 18}. Entonces, A ∪ B = {−7, −2, 0, 3, 5, 17, 18} y A ∩ B = {0, 17}. Se sigue que

7 = Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 5 − 2.
En el capítulo 3 volveremos a hablar de cardinal de un conjunto en más detalle.2.2

Relaciones binarias

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.

Denición 2.2.1 Una relación binaria entre A y B es un subconjunto
R del producto cartesiano A × B. Si (a, b) ∈ R se dirá que a y b están relacionados y se escribirá aRb.
Entonces aRd, bRe, cRd y cRe. (Ver gura 2.2)

Ejemplo 2.2.2 Sean A = {a, b, c}, B = {d, e} y R = {(a, d), (b, e), (c, d), (c, e)}.
Si R ⊆ A × A (es decir,si A = B ), se dirá que R es una relación binaria en A.

Ejercicio 2.2.1 Sean A = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, a), (c, b), (c, c)}. Entonces aRa, bRa, cRb y cRc. Representar grácamente la relación R.

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CAPÍTULO 2. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES
4

3

y2

1

0

1

2 x

3

4

Figura 2.2: Gráca de R.

Ejercicio 2.2.2 En base a la siguiente Tabla 1, describir lasrelaciones en
el conjunto A = {Andrea, Beatriz, Carlos, Davide, Edward } : 1) xR1 y ⇔ x e y viven en el mismo país. 2) xR2 y ⇔ x e y tienen el mismo número de teléfono o la misma edad. 3) xR3 y ⇔ x e y tienen la misma altura y son europeos.

Tabla 1 Edad
Andrea Beatriz Carlos Davide Edward 21 18 37 18 21

Tel. 43-6950-555-0001 34-91-555-0000 34-91-555-0000 39-06-555-0002 1-215-555-0003

PaísAlemania España España Italia EEUU

Altura Ocupación 1,75 Informática 1,68 Estudiante 1,75 Profesor 1,65 Estudiante 1,68 Profesor

Una relación R en un conjunto no vacío A puede ser:

• R1) reexiva: ∀x ∈ A xRx • R2) simétrica: ∀x, y ∈ A xRy ⇒ yRx • R3) antisimétrica: ∀x, y ∈ A xRy e yRx ⇒ x = y • R4) transitiva: ∀x, y, z ∈ A xRy e yRz ⇒ xRz

Ejercicio 2.2.3 Interpretar grácamente laspropiedades reexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.

que sean al mismo tiempo simétricas y antisimétricas son tales que R ⊆ {(x, y) : x = y}.

Observación 1 Las únicas relaciones binarias en un conjunto no vacío A

2.2. RELACIONES BINARIAS

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Ejemplos 2.2.3 1) Sea A el conjunto de las personas y R = {(a, b) ∈ A×A :

a es el padre de b}. Esta relación no tiene ninguna de laspropiedades R1, R2 y R4. 2) En el conjunto de las partes P (A) de un conjunto A, la relación de inclusión R = {(B, C) ∈ P (A) × P (A) : B ⊆ C} es reexiva, antisimétrica y transitiva. 3) En el conjunto Z de los números enteros, la relación R = {(n, m) ∈ Z × Z : n − m es par} es reexiva, simétrica y transitiva. 4) En el conjunto de las rectas del plano real, la relación  r es ortogonal a s no esreexiva, es simétrica y no es transitiva.

Denición 2.2.4 Si R ⊆ A × B es una relación binaria, se denomina
• dominio de R al conjunto dom(R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B tal que (x, y) ∈ R} ⊆ A • imagen directa (o rango) de R al conjunto Im(R) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que (x, y) ∈ R} ⊆ B • imagen inversa (o recíproca) de un subconjunto C de B al conjunto R−1 (C) = {x ∈ A : ∃y ∈ C tal que (x, y) ∈ R} ⊆ A •codominio de R al conjunto B.

Ejercicio 2.2.4 Determinar dominio e imagen de las relaciones denidas
en los ejemplos (2.2.2) y (2.2.3).

2.2.1 Relaciones de equivalencia
Denición 2.2.5 Una relación binaria R en un conjunto no vacío A se denomina relación de equivalencia si es reexiva, simétrica y transitiva.
Si R es una relación de equivalencia en A y a, b ∈ A son tales que aRb, se...