Relaciones

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
AREA COMUN
MATEMATICA II
LIC. MELVIN MADRID



















RELACIONES Y FUNCIONES




















MARLON JOSUE OCHOA IBARRA
CARNE: 20514029
SALON: S10 EDIFICIO: 301
25/01/2016
Relaciones

El concepto de relación surge de manera natural en elanálisis de un sistema.
Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).
Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo:
R : x< y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamadapareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.
Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Ejemplos:
Para A= {a, b, c}
R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}
⇒ R1 = A× A
Para A ={España, Inglaterra, Italia}
B= {Paris, Roma, Madrid}
R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)
R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Esta relación puede ser: ... hermano de...
Otro ejemplo:
A = {Familia Rodríguez}
Miembro Edad
Peso
Estatura
Papá Alfonso (A) 42
77
1.80
Mamá Beatriz (B) 40
57
1.68
Hijo 1 Carlos (C) 19
61
1.88
Hijo 2 David (D) 17
661.63
Hijo 3 Elena (E) 15
48
1.53
R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E)
R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D) (B, E) (D, E).






Representaciones gráficas de relaciones
Gráfica de relaciones no numéricas




Definición:
Sea R una relación ⇒ aRb= (a,b) ∈ R
Ejemplo:
R ={(x, y),(y,z),(y,y),(z,z)}
z Ry es verdadera? no
y Rz es verdadera? Si


Diagrama de flechas

1 2 3 4

Nomenclatura para relaciones (R)
R={(x, y)/ x< y} relación: x< y
Es menor que ={(x, y)/ x< y} • x Ry si R: ...es menor que...




Clasificación de relaciones
Relaciones de equivalencia
Relaciones de orden
Funciones

1) Relaciones de equivalencia
Características (propiedades)
2)Reflexividad: xRx: ∀x∈S⇒xRx
( x está relacionada con x )
Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase
S = {Pedro, Javier, Esteban} R : está en la misma habitación Pedro R Pedro → reflexividad 2) Simetría: ∀x, y∈S . Si x Ry ⇒ yRx Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro
3) Transitiva: ∀x, y,z∈S Si xRy y yRz ⇒ xRz
Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R EstebanDefinición:
Una relación R , definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔ tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva

Ejemplos:
R: x< y

R : x≤ y

S ={a,b,c}
R ={(a,a),(c,c),(a,c),(c,a)}
Reflexiva?
3<3
Reflexiva?
3≤3
Reflexiva?
aRa cRc bRb
Simétrica?
3 < 5 y 5 < 3
Simétrica?
3 ≤ 5 y 5 ≤ 3
Simétrica? aRc cRa
Transitiva?
5 <6 ⇒ 3 < 6
3 < 5
Transitiva?
5 ≤ 6 ⇒ 3 ≤ 6
3 ≤ 5
Transitiva? aRc
cRb→ no aRb→ no

Relación equivalente

X tiene la misma paridad (que sea par o impar)

3 tiene la misma paridad que 3 → Reflexiva
3 tiene la misma paridad que 5
5 tiene la misma paridad que 3 Simétrica
5 tiene la misma paridad que 7
Transitiva


Relación de orden parcial
En matemáticas, una relaciónbinaria R sobre un conjunto X es antisimétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a X si a está relacionado con b y b está relacionado con a entonces a = b.

En notación de conjuntos: .
La relación ser más alto que es una relación antisimétrica dado que a es más alto que b y b es más alto que a no pueden cumplirse al mismo tiempo.
Nótese que la antisimetría no es lo opuesto de...