Representación Polar

Representación polar
Si un número complejo tiene una representación en un plano cartesiano también lo tendrá en un plano polar. Recordando que las ecuaciones para convertir de coordenadasrectangulares a polares y adaptandola al plano de Argand:


donde  es la distancia del origen al punto a través de una línea recta (magnitud del vector) y  el ángulo formado por dicha recta y el eje real. A  sele conoce como argumento o fase y se denota por Arg() siendo  el número complejo al que corresponde. Sustituyendo las ecuaciones de arriba en la definición de número complejo tendremos

y recordandola propiedad de Euler que dice

substituyendo tendremos

siendo  y  el argumento y el módulo de  respectivamente.
Notando algunas propiedades geométricas de esta representación podemos ver que sidejamos  fijo y variamos  en el intervalo  notaremos que se ira formando un círculo de radio  con centro en el origen. Tambien con una desigualdad con el módulo podemos delimitar todos los puntos de uncírculo, a esto se le suele llamar disco, por ejemplo,  serán todos los puntos que del origen a un punto tienen un módulo menor a , es decir, todos los puntos internos del círculo de radio 1 con centroen el origen.
Con esta representación podemos ver que propiedades de la muliplicación compleja, definamos  C y  R, entonces la multiplicación de  y  quedara definida así

pero si la representamos conpolares

lo que nos da a entender que cuando multiplicamos el argumento del vector resultante será la suma de los argumentos de los números multiplicados. El factor  hará un alargamiento de losvectores o una contracción si uno de los dos esta entre el cero y uno.
Daremos un ejemplo con REC/C en el que multiplicaremos un número por , por lo antes mencionado dado cualquier número complejomultiplicado por la unidad imaginaria el resultado será el mismo vector pero rotado en sentido contrario a las manecillas del reloj  radianes ya que el argumento de  es  y su módulo es 1 .
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