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Matemáticas II

ejer-plos 1
respuestas

Arquímedes de Siracusa ( 287 a. C. – 212 a. C.) fue físico, ingeniero, inventor, astrónomo y
matemático. Es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica griega.
Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación
del principio de la palanca.
Más específicamente, en su obraSobre el equilibrio de los planos, Arquímedes explica las leyes de la
palanca y usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias
figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas.

El manuscrito más antiguo que se conserva con una mención a la palanca forma parte de la
Colección matemática de Pappus de Alejandría, una obra en ocho volúmenesque se estima fue
escrita alrededor del año 340; allí aparece la famosa cita de Arquímedes: Dadme un punto de
apoyo y moveré el mundo.
La imagen de portada corresponde a un grabado publicado en Londres en 1824, en la revista
Mechanics Magazine y hace referencia a la referida frase.

MATEMÁTICAS II - UNIMET

2

EJER - PLOS

1

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

► INTEGRALES INDEFINIDAS◄



RespuestaEjercicio 1

Sea:
G(x) 



7  Sen(x)
2

Cos (x)

dx 




7
Sen(x)

 Cos2 (x)  Cos2 (x)


G(x)  7

Sea:

u  Cos(x)



 (1) du  Sen(x)dx

G(x)  7 Tg(x) 



1
u

2


 dx 



Sec2 (x) dx 





 7 Sec2 (x)  Sen(x)  dx
2

Cos (x) 




Sen(x)
Cos2 (x)

dx



( 1) du  7 Tg(x) 



u 2 du  7 Tg(x) 

u 1
C
1

La antiderivada más general de F(x) es:

G(x)  7 Tg(x)

1
 C  7 Tg(x)  Sec(x)  C
Cos(x)

Para verificar el resultado considero la derivada de G(x), así:
G(x)  7 Sec2 (x)  Sec(x)Tg(x)  0

MATEMÁTICAS II - UNIMET

3

G(x) 

7
2

Cos (x)



1
Sen(x)
7
Sen(x)
7  Sen(x)



 F(x)
2
2
Cos(x) Cos(x)
Cos (x) Cos (x)
Cos2 (x)

¡ y queda verificado ¡



Respuesta Ejercicio 2

C

2.2.

 5e 3 x  7
arctg 

3 7
7


2.3.

1
arctge 3x  C
3

2.4.



8
4  x3
3

2.5.

3 x
C
Ln(3)

1

arctg 

2.7.

1
Ln e 4 x  2  C
4

2.8.

 x  16

1
Ln 4 x 2  3
4
2.10.
5
 2x 

arctg 
C
2 3
 3

Ln 3 x  2
2.1.

Ln(3)

1

2.9.

x  64 Ln 4  x  C

 Ln x 
2.11. arcsen
C
 2 

2.13.

2
8 5

 2 Ln x 4 
C
5



arctg 

MATEMÁTICAS II - UNIMET

2.6.

2

3



1
2





2
4  x3
9



3

2

C

 Lnx  1
2
  Ln 9 Lnx  C
 3  2

 3 sen3 x
1
arcsen

3 3
7



C



12 5
5

x  3 2
x  3 2 
35
25
2

2.12.




C



5

7



x5  3 2  C
5
6

3

2.14. e Tg( x )  C

4


2.15.
arctg

3 3


5 e 6 x  3 
C

3


1

 cos x 
  C
 3 

2.17.  arcsen

2.19.

2
2

3
7
2.16.  1 Cos(2x) 2  1 Cos(2x) 2  C

3

2.18.

 x  1
2
  Ln x  2  C
 2 2

arctg 

2.23.



2
3  Tg(x) 3 2  C
3

2.22.

x2 1
 Ln x 2  1  C
2 2

2.24.

1
2x  3 3 2  3 2x  3  C
6
2

4  3x2 
4
4  3x2 

27
5

1

2.25.



7
1
2x 3  4  C
42

45

3



9

C



9

2  3  13

2 3







2.26. Ln Ln e x  1  C

8x3  613  8x3  612
2.27.

11
4
Ln 3 x  2  3x  2  C
9
9

2.20.

2

1
 x 
2.21.
arctg    C

4
 2 

7

3

36 8 x  6
9

11  C

2  3  11





13
12
1 4
1
x  3  x4  3
8
2.28. 52
11
9 4

x 3 C
44





2

2.29. tg( x)  sec(x)  C

2.31. x 

2.33.

cos(2x )
C
2

 x4 
1
arctg   C
8
 2 

eSen ( x )
C
2.30.
2

2.32.



sen
2.34.





(x)  2

8  sen



5
3
2 3
10 3
x 5 2 
x 5 2  C
15
9

4

32

4

sen


(x)  2
7

4

(x)  2

7
6

C

6

MATEMÁTICAS II - UNIMET

5

 C

2.36.

sen3 (2x )
C
6

2.38.

2.40.

2
b

2.42. 

2
3  Sec(x)3 2  C
3

2.37.

1


2.39.
 1 2 
3 x 
2.41.

3

1

2

1


  1 2 
5 x 

5

1

2

C

10
10  Sec(x) 3 2  C
3



2.43.  4  Lnx





sec3 ( x )
2.35.
C
3



1
2 2



2.44.

C

2
Ln cos
b



bx - a

1
C
Ln x 2  3x





a  tg(bx)  C



49
7  x4
6



3

2











7
7  x4
5



1
7  x4
14

5

2

7

2

C...