Resumen Cálculo Vectorial, P. Montero S.

´ Resumen Calculo Vectorial I. Curvas Param´tricas. e Sea C r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I = [a, b] ⊂ R una curva en R3 , es decir, r I ⊂ R → R3 es una funci´n vectorial de variable real. Luego, diremos que la curva C es: o 1. Continua ⇔ r I ⊂ R → R3 es una funci´n continua. o 2. Suave ⇔ r′ (t) existe, es continua y no se anula. Observaci´n: r′ (t) representa en tal caso un vector tangente (nonecesariamente o unitario) a la curva C en el punto r(t) ∈ C. 3. Seccionalmente suave (suave por tramos) ⇔ C es continua y C = C1 ∪ . . . ∪ Cn = C1 + . . . + Cn , donde Ci , i = 1, . . . , n es suave. 4. Cerrada ⇔ r(a) = r(b) y C es continua. 5. Simple ⇔ [(t1 ≠ t2 ) → r(t1 ) ≠ r(t2 )] (r inyectiva). Observaci´n: Geom´tricamente, la curva no se autointersecta. o e 6. de Jordan ⇔ C es simple ycerrada. Importante: Lo anterior es an´logo para curvas en el plano C r I ⊂ R → R2 . a II. Integrales de L´ ınea de Funciones Escalares. Sea C r(t), t ∈ I ⊂ R una curva suave, entonces dr(t) = dr dt es un vector infinitedt simal tangente a la curva C. Luego, se define el elemento diferencial de longitud de arco como ds = dr = dr dt = r′ (t) dt = dt x′ (t)2 + y ′ (t)2 + z ′ (t)2 dt

3. Centro de Masa:Se define el primer momento de una part´ ıcula dm respecto a x (resp. y, resp.z) como x dm (resp. y dm, resp. z dm) y con ello definimos el primer momento respecto al cable como la integral de los primeros momentos de cada part´ ıcula sobre C. Por el teorema del valor medio integral, existe un punto ´ ´ (x, y, z) (no necesariamente en la curva C) tal que C x dm = xM (C), C y dm = ´ yM (C), C z dm =zM (C). Dicho punto es llamado el centro de masa de C. Observaci´n: Si la distribuci´n de masa es uniforme (constante) entonces (x, y, z) o o se llama centroide (centro geom´trico), y no depende de la masa. e 4. Momento de Inercia: Se define el momento de inercia de una part´ ıcula dm respecto a un eje de rotaci´n como r2 dm, donde r es la distancia de la o ´ part´ ıcula al eje de giro. Con ello I =C r2 dm es el momento de inercia del cable respecto al eje de giro . III. Campos Vectoriales. La idea de un campo vectorial es asociar a cada punto de un sector un el espacio (o plano) un vector saliendo desde el punto. Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 un abierto y P, Q, R Ω → R funciones escalares. Un camo po vectorial X Ω ⊆ R3 → R3 es una funci´n que asigna a un vector a cada punto en o el dominio deacuerdo a la regla X(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) Observaciones: 1. Se denota de forma resumida X = (P, Q, R). 2. El campo X es continuo si y s´lo si las funciones componentes P, Q, R son contio nuas. En general, X es de clase C k (k−veces continuamente derivable) si P, Q, R son de clase C k . 3. Notaci´n: Xk (Ω) = {X Ω ⊆ R3 → R3 X de clase C k en Ω} es el conjunto de o todos loscampos vectoriales de clase C k definidos en el abierto Ω. 4. Del mismo modo, un campo bidimensional X Ω ⊆ R2 → R2 es de la forma X(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) x x y −y , y X2 (x, y) = , x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 dos campos vectoriales de clase C ∞ definidos en Ω = R2 − {(0, 0)}. Por ejemplo, X1 (x, y) = son

y a partir de ella se define la integral de l´ ınea para una funci´n escalardefinida sobre o la curva C: Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 un abierto, f Ω → R una funci´n continua y C r(t), t ∈ [a, b] o o una curva suave completamente contenida en Ω. Entonces, ˆ ˆ b dr f (x, y, z) ds = f (r(t)) dt dt C a se llama integral de l´ ınea de la funci´n f sobre la curva C. o Observaci´n: f (r(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) es la restricci´n de la funci´n a la curva. Una o o o propiedad importante esque el valor de la integral no depende de la parametrizaci´n. o Algunas aplicaciones: ´ ´ 1. Longitud de Curva: Si f C ≡ 1 entonces C f ds = C ds = L(C) representa la longitud de la curva C. 2. Masa de un Cable: Si f C ≡ δ(x, y, z) = dm es la densidad lineal del cable C, ´ ds ´ entonces su masa est´ dada por M (C) = C dm = C δ ds. a
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Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 abierto y X Ω ⊆ R3 → R3 un campo...